Steigung und Ableitungsfunktion
Im Folgenden finden Sie den Graph der Funktion f(x)=x^2 (Normalparabel). Überlegen Sie zunächst, in welchen Abschnitten die Steigung der Funktion positiv und in welchen Abschnitten sie negativ ist.
Verschieben Sie den Punkt P auf dem Graphen. Die Steigung der Funktion f im Punkt P wird jeweils in grün in die Skizze eingetragen. So entsteht eine neue Funktion, die wir im Folgenden mit f'(x) (gelesen: "f-Strich von x") oder "erste Ableitung von f von x" bezeichnen werden.
a) Übertragen Sie den Funktionsgraphen von x^2 auf ihr vorbereitetes Arbeitsblatt.
b) Bestimmen Sie mit der Applikation durch Verschieben des Punktes P die Tangenten an den Stellen x1=-2, x2=-1, x3=0, x4=1 und x5=2 und übertragen Sie diese inklusive ihrer Steigungsdreiecke auf Ihr Arbeitsblatt.
c) Übertragen Sie den Funktionsgraphen von f'(x) auf das Arbeitsblatt.
d) Geben Sie die Funktionsgleichung von f'(x) an, indem Sie sie an den Graphen von f' auf dem Blatt schreiben.
Zusammenhang zwischen Funktionsgraph und Steigung
Die nächste Abbildung zeigt den Graph der Funktion g(x)=x^3. Überlegen Sie auch hier zunächst, in welchen Abschnitten die Steigung positiv und in welchen sie negativ ist.
Aufgabe:
Verschieben Sie auch hier den Punkt P auf dem Graphen. Die Steigung der Funktion g im Punkt P wird wie oben jeweils in grün in die Skizze eingetragen. Die neu entstehende Funktion bezeichnen wir im Folgenden mit g'(x).
a) Welche Art von Funktion ist die Funktion g'(x)?
b) Geben Sie die Funktionsgleichung von g'(x) an.
Zu guter Letzt finden Sie unten den Graphen der Funktion h(x)=x^4. Haben Sie schon eine Vermutung, wie die Funktionsgleichung von h'(x) aussehen wird?
Aufgabe:
Gegeben sei die Funktion f(x)=x^n wobei n eine natürliche Zahl ist. Geben Sie die Gleichung von f' an.