7.7 Los dos Espacios Nulos
El segundo método para tratar es "dual" al primero. No sólo se tiene interés en los miembros derechos obtenibles , sino también en las soluciones que los obtienen. El miembro derecho siempre permite la solución , aunque puede haber una infinidad de otras soluciones. (Siempre hay, en caso de que haya más incógnitas que ecuaciones, n > m).
Las soluciones de constituyen un espacio vectorial, el espacio nulo de A ya que :
Una combinacion lineal de dos soluciones de un sistema homogeneo es una solucion del sistema homogeneo
Esta propiedad falla si ! Sólo las soluciones de una ecuación homogénea ( ) constituyen un subespacio!
El Espacio Nulo de la Matriz A
Encontremos el Espacio Nulo de la matriz A:
Debemos encontrar que vectores "anulan" la matriz A.
Para encontrar estos vectores anuladores de A, debemos simplemente resolver este sistema de ecuaciones. (Estos sistemas con partes derechas iguales todas a cero , se llaman sistemas homogeneos). La matriz aumentada del sistema es:
La matriz Escalonada Reducida es:
y la solución vectorial del sistema es:
Todos estos vectores (rojos) que forman una recta, al ser multiplicados por A se anulan, como se observa A continuación:
2. El Espacio Nulo de la Matriz Traspuesta de A
El Espacio Columna de una matriz es el espacio fila de la Matriz Traspuesta ,
Debemos encontrar que vectores "anulan" la matriz A.
Para encontrar estos vectores anuladores de A, debemos simplemente resolver este sistema de ecuaciones. (Estos sistemas con partes derechas iguales todas a cero , se llaman sistemas homogeneos). La matriz aumentada del sistema es:
La matriz Escalonada Reducida es:
y la solución vectorial del sistema es:
Todos estos vectores (azules) que forman una recta, al ser multiplicados por A se anulan, como se observa A continuación: