Derivace funkce
Historické definice vyjadřovaly derivaci jako poměr, v jakém růst či pokles závislé proměnné y odpovídá změně nezávisle proměnné x. Nejjednodušší představa o derivaci je, že „derivace je mírou změny funkce v daném bodě, resp. bodech“.
Derivace je hodnota podílu Δy/Δx pro Δx jdoucí k 0. Nahradíme-li konečně malý rozdíl Δx nekonečně malou změnou dx, získáme intuitivní definici derivace.
V grafickém okně je funkce diskretizována krokem Δx = 1. Pro tento krok jsou vypočítány rozdíly funkčních hodnot, tj. diference f(x+Δx)-f(x).
Derivace měří míru změny. Pro diference s krokem Δx=1 dostáme pro kvadratickou funkci f(x) = x2:
f(x+1)-f(x)=(x+1)2 - x2 = 2x + 1
pro obecný přírustek Δx:
(f(x+Δx)-f(x))/Δx=((x+Δx)2 - x2 )/Δx= 2x + Δx
Diskretizace definičního oboru funkce a výpočet diferencí
V grafickém okně je funkce f(x) diskretizována krokem dx. Pro tento krok
jsou vypočítány rozdíly funkčních hodnot, tj. diference f(x+dx)-f(x).
V appletu změňte posuvníkem hodnotu přírustku dx, graf diferencí bude stále stejný (až na posun o dx).
Pro kontrolu zobrazte funkci derivace f' určenou přímým nástrojem GeoGebry
Derivace(f).
Vyzkoušejte změnit definici funkce f(x) v prvním řádku algebraického okna.
Applet diskretizuje jen interval (-3, 5) vytvářením posloupnosti bodů (i, f(i)); i se zvětšuje o diferenci dx.
Derivace funkce f(x) = 3
Derivace funkce f(x) = 2x
V appletu můžete zmenšovat přírustek dx až k hodnotě 0,2. Míru změny určujeme poměrem
Je-li funkce rostoucí, je změna kladná, pro klesající funkci je změna záporná. Zkoumáme-li změnu v nekonečně malém (infinitesimálním) přírustku dx, dostaneme definici derivace pomocí limity pro .
.
Pro podrobnější studium a přechod k formální definici derivace pomocí limity doporučuji skriptum
Burda P.: Matematika I, nebo kapitolu Derivace funkce serveru Matematika polopatě.
Literatura
Prezentace k přednášce "Funkce", Google Slides
Prezentace k přednášce "Infinitesimální počet", Google Slides
Isibalo: Diferenciální počet: Co nám říká derivace v bodě