Derivada direcional
Definição:
Seja uma função escalar de várias variáveis, seja um vetor unitário em e . A derivada direcional de no ponto na direção , denotada por , é a função escalar definida por
O domínio de é o subconjunto do para o qual o limite acima exista.
Observe no applet abaixo a relação entre o vetor unitário e a inclinação da reta tangente a curva gerada pela interseção do plano vertical que contém o vetor com o gráfico da função.
Interpretação Geométrica:
Seja a função
e sejam e o vetor unitário dado por , sendo . Como pertencem a um conjunto aberto contido no domínio de , temos que existe , tal que . Considere então a curva parametrizada pela função dada por:
onde . Observe que, construída dessa forma, é uma curva contida no gráfico da função dada pela interseção do gráfico da função com o plano
vertical que contém a reta . Note também que
,
de modo que
Desta forma, como
,
temos que
Como é um vetor unitário, temos que
,
onde é o ângulo formado pelos vetores e , o qual fornece a inclinação da reta tangente à curva no ponto .
Temos portanto que fornece o coeficiente angular da reta tangente à curva , no ponto , onde é dada pela interseção do gráfico da função com o plano vertical que contém a reta .
Observe que se , temos que
e que se , temos que
Observe no applet abaixo, para , e , a curva gerada pela interseção do gráfico de com o plano vertical que contém a reta .
Teorema 1
Se é uma função diferenciável em , então:
,
para todo vetor unitário em .
Teorema 2
Se é uma função diferenciável em , tal que , então :
a) O valor máximo da derivada direcional de , no ponto , ocorre quando e neste caso o valor máximo é dado por . Temos assim, que fornece a direção e sentido de maior crescimento de função partindo-se do ponto .
b)O valor mínimo da derivada direcional de ,no ponto , ocorre quando e, neste caso, o valor mínimo é dado por .
Temos assim, que fornece a direção e o sentido de maior decrescimento da função, partindo-se do ponto .
c) O valor da derivada direcional de , no ponto , é nulo quando é perpendicular à .
Observe no applet abaixo os diferentes valores que a derivada direcional pode tomar, variando o vetor . Avalie a partir dos diferentes ângulos e direções em relação ao vetor gradiente.