Przykład 2.3 (z parametrem) - wersja 2
Wyznaczymy równanie stycznej do krzywej opisanej równaniem
, gdzie ,
w punkcie . Rozwiązanie. Łatwo sprawdzić, że punkt leży na krzywej dla dowolnej wartości parametru .Wykażemy, że istnieje dokładnie jedna funkcja uwikłana danym równaniem, której wykres przechodzi przez punkt , a następnie wyznaczymy styczną do wykresu funkcji w punkcie korzystając ze wzoru:
.
Wyznaczona styczna do wykresu funkcji , będzie jednocześnie szukaną styczną do krzywej .Ponieważ i , więc dla każdego istnieje dokładnie jedna funkcja uwikłana podanym równaniem, określona na pewnym otoczeniu punktu i taka, że oraz . Podstawiając odpowiednie wartości do wzoru na styczną otrzymujemy: .
W przypadku, gdy krzywa opisana jest równaniem , a po przekształceniu . Możemy zatem rozwikłać równanie i wyznaczyć dwie funkcje uwikłane: oraz . Przez punkt przechodzi tylko wykres funkcji , której styczna w punkcie ma równanie .
Odpowiedź. Przy ustalonym równanie stycznej do krzywej w punkcie ma postać: .