Definition und Eigenschaften
Die Geometrische Folge ist eine regelmäßige Abfolge von Zahlen die uns im Alltag relativ oft
begegnet und in vielen Aspekten der Mathematik begleitet ohne dass es uns bewusst ist. Sie kommt überall vor, wo -allgemein und kompliziert formuliert- periodische, also sich wiederholende Prozesse eine relative Veränderung bewirken, also zum Beispiel bei Wachstums- und Teilungsprozessen.
Eine Geometrische Folge ist entsprechend eine Folge von Zahlen
mit ,für die folgende Eigenschaft, mit , und gilt
Das i-te Folgenglied wird demnach errechnet, in dem man das erste Folgenglied entsprechend oft, also i-mal, mit dem konstanten Faktor multipliziert.
Übung 1 - Niveau 1
Kreuze an, bei welche der Folgen es sich um eine Geometrische Folge handelt.
Übung 2 - Niveau 2
1.) Berechne aus dem Folgenglied das nächste Folgenglied . Stelle die Gleichung ohne die Verwendung von dar. 2.) Stelle eine Vermutung auf, wie man allgemein ein Folgenglied aus seinem direkten Vorgänger berechnet.
Übung 3 - Niveau 3
Zeige, dass das Verhältnis von aufeinanderfolgende Folgengliedern, also zu , konstant ist.
Info: Konvergenz und Divergenz
Eine reellwertige Folge nennt man konvergent gegen einen Wert , falls man für jede noch so kleine Schranke , eine natürliche Zahl finden kann, sodass alle Folgenglieder ab dem Index , also innerhalb der Umgebung um den Wert liegen.
Die Zahl nennt man dann Grenzwert oder Limes der Folge.
Gibt es keinen solchen Wert (oder auch keinen eindeutigen Wert), so nennt man die Folge divergent.
Applet: Konvergenz und Divergenz
Übung 4 - Niveau 1
1.) Gib an, für welche Werte von die Folgenglieder gegen den Wert Null streben. 2.) Für welche Werte von streben die Werte gegen bzw. ?
Übung 5 - Niveau 2
Begründe warum für und nur die Werte bzw. angenommen werden.
Übung 6 - Niveau 3
Beurteile, ob für den Wert Konvergenz oder Divergenz vorliegt.