10b 6.11: Sinusfunktion mit Parametern
Wiederholung Funktionen
Eine Funktion ist eine eine Beziehung zwischen zwei Mengen, die
jedem Element der einen Menge (Funktionsargument, unabhängige Variable,
x-Wert) genau ein Element der anderen Menge (Funktionswert, abhängige
Variable, y-Wert) zuordnet. Kurz: Jeder x-Wert aus der Definitionsmenge einer Funktion hat einen zugehörigen y-Wert.
Mit der Definitionsmenge beantwortest du die Frage: Welche x-Werte darf ich in die Funktion einsetzen?
Die Wertemenge ist die Menge aller möglichen Zahlen, die für y bzw. f(x) herauskommen können, wenn du jede Zahl der Definitionsmenge für x in die Funktion einsetzt.
Hat ein x-Wert zwei y-Werte, handelt es sich nicht um eine Funktion. Wichtig ist also, dass jedes Element im Definitionsbereich (x-Achse) nur ein zugehöriges Element im Wertebereich (y-Achse) haben darf. Das Ergebnis von Funktionen muss also immer eindeutig sein.
Manipulation von Grundfunktionen
Du kannst aus einer alten Funktion f(x) eine neue Funktion g(x) machen! Dazu veränderst du einfach die alte Funktion: Du kannst sie zum Beispiel verschieben, stauchen, strecken oder spiegeln. Das nennst du auch manipulieren.
Dabei ändern sich auch die Definitionsmenge D (Werte, die du für x einsetzen darfst) und die Wertemenge W (Werte, die du für y einsetzen darfst). Den neuen Definitions- und Wertebereich nennst du dann Dg und Wg. Du sagst dann:
Einfluss von gewissen Parametern auf die Sinusfunktion
Erkunde mit dem CAS in Gruppenarbeit, wie man die Standardsinusfunktion sin(x) mit einem hinzugefügten Parameter verändern kann. Gehe auch auf den Wertebereich ein. Schreibe so mit, dass du Person das Ergebnis aus der Gruppenarbeit vorstellen kannst.
Gruppe A: Streckung des Graphens in y-Richtung
Gruppe B: Verschiebung an der x-Achse
Gruppe C: Verschiebung an der y-Achse
Einfluss von gewissen Parametern auf die Sinusfunktion
f(x) = sin(x)
A) Strecken in y-Richtung mit dem Faktor a: g(x)=a*f(x)=a*sin(x)
Alle Funktionswerte werden mit a multipliziert. Dadurch wird der Graph von f mit dem Faktor |a| gestreckt. Ist a<0, so wird zusätzlich noch an der x-Achse gespiegelt. Die Amplitude (maximaler Funktionswert der periodischen Funktion) verändert sich und hat den Wert |a|.
B) Verschieben um c parallel zur x-Achse:
g(x)=f(x-c)=sin(x-c)
Positive Werte von c verschieben den Graphen nach rechts, negative Werte von c verschieben ihn nach links.
C) Verschieben um d parallel zur y-Achse:
g(x)=f(x)+d=sin(x)+d
Positive Werte von d verschieben den Graphen nach oben, negative Werte von d verschieben ihn nach unten.