seriespoligonos
Problema
Dado um número arbitrário e um polígono de lados, pede-se construir triângulos inscritos no polígono tal que a soma das áreas desses triângulos se aproximam do número .
Procedimento
- Dados um número real e um número inteiro , construimos uma circunferência de centro no ponto e raio , com , onde é dado por .
- Construimos um polígono regular de lados inscrito na circunferência de raio .
- Usamos tanto a homotetia de razão e centro o baricentro do polígono como uma rotação de ângulo e centro para construir polígonos inscritos no polígono regular tal que estes novos polígonos sejam semelhantes ao polígono regular.
- Escolhemos um vértice do polígono e com os respectivos pontos meios e dos lados adjacentes ao vértice escolhido construimos um triângulo de área igual a , onde .
-Para obter os triângulos semelhantes a escolhemos as imagens dos pontos , e obtidas pela homotetia e rotação .
- As áreas obtidas são dadas pela seguinte sequência: .
- Somamos as áreas dos triângulos, para obter:.
Solução
- Quando é um número que se aproxima de infinito, obtemos:
, pois . Pela definição de , obtemos que o limite da serie é o número .
A solução não é única, pois depende do vértice escolhido no polígono regular, porém as demais soluções são congruentes a esta.