Całka niewłaściwa (2)
1. Niech będzie funkcją całkowalną na każdym przedziale domkniętym , gdzie. Załóżmy, że funkcja jest nieograniczona w pewnym lewostronnym sąsiedztwie punktu b. Granicęnazywamy całką niewłaściwą funkcji na przedziale i oznaczamy .
Jeżeli powyższa granica istnieje i jest skończona, to mówimy, że całka niewłaściwa jest zbieżna, natomiast jeżeli granica ta nie istnieje lub jest niewłaściwa, to mówimy, że całka jest rozbieżna.
Przykład 1.
Obliczymy całkę niewłaściwą
Rozwiązanie:
Poniższy aplet pokazuje jak zmienia się wartość całki wraz ze wzrostem wartości parametru .
2. Niech będzie funkcją całkowalną na każdym przedziale domkniętym , gdzie. Załóżmy, że funkcja jest nieograniczona w pewnym prawostronnym sąsiedztwie punktu a. Granicęnazywamy całką niewłaściwą funkcji na przedziale i oznaczamy .
Jeżeli powyższa granica istnieje i jest skończona, to mówimy, że całka niewłaściwa jest zbieżna, natomiast jeżeli granica ta nie istnieje lub jest niewłaściwa, to mówimy, że całka jest rozbieżna.
Przykład 2.
Obliczymy całkę niewłaściwą .
Rozwiązanie:
Rozważana całka niewłaściwa okazuje się być całką rozbieżną. Tym razem trudno zobaczyć ten wynik na wykresie.
Ćwiczenie 1.
Które z podanych całek są zbieżne. Wyniki sprawdź za pomocą apletu.