１３．多角形の面積
１.多角形の面積
このページは電子ブック「探求 数学Ⅰ」の一部です。
＜三角形の面積と正弦定義＞
・頂点Aから辺aにおろした高さをｈとする。
正弦定義からだから、h=c・sinB＝b・sinCとかける。
三角形ABCの面積はa×h÷2=
同様にして、辺ｂに垂線をおろして、
三角形ABCの面積はb×高さ÷２＝
サイクリックに整理すると、
三角形の面積＝２辺の積×間の角の正弦。
（例）２辺が３，４で間の角が150°の三角形の面積は？
sin150°=sin30°=1/2だから、1/2・3・４・1/2＝３。
＜平行四辺形の面積＞
平行四辺形の面積＝２辺の積×間の角の正弦。
（例）対角線が10,12で60°で交わる平行四辺形の面積は？
対角線で区切られる４つの三角形のうちの１つは60°を10÷2＝５，12÷2＝6が挟む。
sin60°＝.
＜多角形の面積＞
多角形は三角形に分割して面積を求める、という方針を立てることもできる。
＜（参考）余弦定理からヘロンの公式を作ろう＞
三角形の面積は上記のようにS=1/2bc・sinAで求められる。
一方で、cosA＝xとすると、sinA=√(1-x2)=√(1+x)(1-x)と表すことができるね。
ここでx=cosA=(b2+c2-a2)/(2bc)を上の式に代入してみよう。
・sinA=
=
だから、S==
=
=
２．三角形の内心と角の二等分線
＜内心＞
三角形ABCの２つの頂点の角の２等分線の交点Iを、[内心（incenter)]という。
Iから３辺におろした垂線の足を、辺a,b,cの順に、D,E,Fとする。
ID=IE=IFになる。これをrとする。
中心I、半径ｒの円が三角形ABCの[内接円（incircle)]になる。
円外から接点までの長さは等しいので、AF=AE=x,BF=BD=y,CD=CE=ｚとおける。
＜内接円の半径＞
３辺a,b,cを底辺として、高さをrとする三角形の面積の合計は、三角形全体の面積Sと等しい。
だから、r(a+b+c)/2=S。だから、
＜角の２等分線定理＞
三角形ABCの頂点Aを２等分する線と対辺aとの交点をDとする。
点Dから残りの辺b,cへおろした垂線の長さｈは等しい。
・２辺b,cを底辺として、高さをhとする三角形ABDと三角形ACDの面積比は、
bh/2:ch/2=b:c=DC:DBだから、角の２等分線は２等分した角をはさむ辺の比に残りの辺を分ける。
・三角形ABDと三角形ADCの面積の和は三角形全体の面積Sと等しい。
角A＝2ｋとする。面積の2倍についての式ができる。
cd・sink+bd・sink=bc・sin2kだから、となる。
（例）
「c=2,b=3,角A＝120°のときの角Aの二等分線ADの長さ」は？
、となる。その積は
（例）
「c=6,b=8,角A＝60°のときの角Aの二等分線ADの長さ」は？
、となる。その積は
（例）
「c=2,b=3,a=4の三角形ABCの内心をIとするときAIの長さ」は？
角Aの２等分線をADとすると、角Aをはさむ辺の比でaを比例配分して、BD=4×2/(2+3)=8/5。
三角形ABCの３辺から余弦定理でcosB=(c2+a2-b2)/(2ca)=(4+16-9)/(2･2･4)=11/16。
三角形ABDで余弦定理でAD2=AB2+BD2-2AB･BD･cosB=4+(8/5)2-2･2･(8/5)･(11/16)=54/25。AD=3√6/5
角Bの２等分線がBIは、ADをAB:BD=2:8/5=5:4に比例配分して3√6/5×5/(5+4)=√6/3。
（別解 数学Ⅱ）
cosA=(b2+c2-a2)/(2bc)=(9+4-16)/(2･3･2)=-1/4。sinA=√(1-1/16)=√15/4
半角の公式からsinA/2=√((1-cosA)/2)=√(5/8)=√10/4 。
AD=sinA/sin(A/2) ･bc/(b+c)= (√15/4)/(√10/4)･3･2/(3+2)=3√6/5 角Bの２等分線がBIは、ADを
AB:BD=2:8/5=5:4に比例配分して3√6/5×5/(5+4)=√6/3。