Función implícita (II).
Prueba del Teorema de la función implícita. Teorema de la función implícita para funciones de varias variables.
Prueba del Teorema de la función implícita.
Sea una función definida en un abierto . Sea un punto de tal que . Sin pérdida de generalidad asumimos que .
Como es entonces en un entorno de . Por lo tanto puedo escoger y suficientemente pequeños tal que en el rectángulo .
Como es continua en el compacto , entonces tiene mínimo, que debe ser positivo porque en todo . Por lo tanto,
(1)
para cierta constante . Similarmente, como es continua en tenemos una cota superior,
(2)
para cierta constante . Vamos a usar (1) y (2) más adelante.
Como entonces fijado , la función,
tiene derivada estríctamente positiva, es decir,
por lo que es estríctamente creciente.
En particular, como , tenemos . Ahora, de la continuidad de , podemos escoger más pequeño si fuera necesario, de manera que también,
y,
para todo .
Nos concentramos ahora en las funciones para . Cada una de ellas es negativa en , es estríctamente creciente en y es positiva en . Por lo tanto, cada una de ellas tiene un único cero en que llamamos . Es decir, tenemos definida una función
cuyo gráfico es el conjunto de nivel. Hemos por lo tanto encontrado la función implícita. Para terminar la prueba del teorema queda demostrar que es una función .
Vamos a probar ahora que es una función . Fijemos . Sea,
donde es el incremento. Observe que depende de . Es decir que . Tenemos,
y,
Definimos ahora la siguiente función de , . Tenemos y . Por lo tanto, por el teorema del valor medio tenemos,
Para cierto . Observe que esta construcción depende del incremento y por lo tanto también depende de , es decir .
La fórmula anterior va a ser usada de dos maneras diferentes.
Escribimos,
(3)
y tomando valor absoluto, llegamos a,
(4)
donde usamos en (3) las ecuaciones (1) y (2). Una consecuencia de esto es que cuando . Ahora, recordando que , reemplazando esta expresión en (3) y dividiendo por , deducimos,
Si tomamos el límite cuando recordando que deducimos,
En particular probamos que existe y por lo tanto es continua (para que la derivada exista la función debe ser continua). Finalmente, como y son continuas, las composiciónes y son continuas también. De aquí que es continua, lo que culmina la demostración del teorema. .
El Teorema de la función implícita para funciones de más de dos variables.
El teorema de la función implícita se generaliza para funciones de más de dos variables , de forma directa. La diferencia radica en que la función implícita, cuyo gráfico representa el conjunto de nivel localmente, es una función de -variables. Si , entonces el conjunto de nivel localmente el gráfico de una función de dos variables y por lo tanto una superficie. Para más de tres variables, dichos gráficos se denominan hipersuperficies.
Teorema de la función implícita (para funciones de varias variables). Sea una función de -variables, y definida en un abierto . Sea un punto del conjunto del nivel para cierto nivel . Si,
entonces existen y y una función ,
tal que,
Además, la derivadas parciales se calculan del siguiente modo,