Dokumentation LGS & Gaußalgorithmus

Allgemeine Informationen

Thema: Lineare Gleichungssysteme, Gaußalgorithmus und dessen geometrische Interpretation Schulstufe: 5. Klasse bis 12. Klasse Beispielaufgabe: Äquivalenzumformung eines LGS als Beispielschritt im Gaußverfahren geometrisch veranschaulich

Inhaltsverzeichnis

Bildungsplan
LGS mit n=2
LGS mit n=3
Äquivalenzumformungen
Gaußalgorithmus mit geometrischer Interpretation
Beispielaufgabe aus dem Praktikum

1. Bildungsplan

5. und 6. Klasse 1. Zahl - Variable - Operationen

(11) Einfache Rechnungen sicher im Kopf durchführen
(12) Natürliche Zahlen und positive Dezimalzahlen schriftlich addieren, subtrahieren, multiplizieren und dividieren

Hier lässt sich darüber streiten, ob diese Themen explizit zum Thema LGS und Gaußalgorithmus gehören, sicherlich sind sie jedoch wichtige Grundlagen, welche zum Lösen von LGS beherrscht werden sollten. 2. Raum und Form

(1) Lagebeziehungen von Strecken und Geraden (parallel, senkrecht) mithilfe eines Geodreiecks untersuchen
(12) Geometrische Objekte in selbstständig skalierten 2 dim kartesischen KS darstellen

Auch hier werden unverzichtbare, geometrische Grundvorstellungen und Kompetenzen geschaffen. 3. Funktionaler Zusammenhang

(3) Punkte in ein Koordinatensystem eintragen und die Koordinaten von Punkten ablesen
(4) einfache funktionale Zusammenhänge in verbaler, tabellarischer, ikonischer und graphischer Form (auch im Koordinatensystem) darstellen und zwischen Darstellungsformen wechseln

Es fällt auf, dass der Übergang der verschiedenen Teilbereiche schwammig ist, da sich der erste Punkt mit 2.(1) überschneidet, auch hier werden dementsprechend Grundvorstellungen geschaffen. Durch den zweiten Punkt wird sichergestellt, dass später aus Textaufgaben ein LGS eigenständig aufgestellt, in graphischer Form dargestellt werden kann, um daraus dann zunächst die Art der Lösungsmenge, und später deren Inhalt zu bestimmen. 7. und 8. Klasse 1. Zahl - Variable - Operation

(5) Situationen unter Verwendung von Variablen und Termen beschreiben
(19) Lineare Gleichungen durch Äquivalenzumformungen lösen
(20) Die Lösung eines LGS mit zwei Variablen mithilfe des Einsetzungsverfahrens bestimmen

Hier wird zum ersten mal das LGS explizit erwähnt. Die SuS können nun einzelne Gleichungen, sowie Systeme aus mehreren Gleichungen lösen. Interessant ist hier, dass nur und genau nur das Einsetzungsverfahren gewählt wird. Hier stellt sich natürlicherweise die Frage, wie es zu dieser Wahl kam, und v.a. wieso nicht das Additionsverfahren bevorzugt wird, welches im Fall mit 3 Lösungsvariablen das offensichtlich Überlegendste ist. 2. Raum und Form Hier kommt laut Bildungsplan nichts neues dazu. 3. Funktionaler Zusammenhang

(1) Zusammenhänge durch Tabellen, Gleichungen, Graphen oder Text darstellen und situationsgerecht zwischen den Darstellungen wechseln
(5) eine Gerade mit der Gleichung y = mx + c unter anderem unter Verwendung von Steigung und Steigungsdreiecken zeichnen und einer Geraden eine Gleichung zuordnen
(8) die Lagebeziehung zweier Geraden anhand ihrer Gleichungen untersuchen

Hier werden besonders lineare Gleichung und deren geometrische Darstellung betont. Die Art der Lösungsmenge zweier Geraden (also eines LGS mit 2 Lösungsvariablen) kann bestimmt werden, jedoch noch nicht deren Inhalt. 9. und 10. Klasse 1. Zahl - Variable - Operation Hier kommt laut Bildungsplan nichts neues dazu. 2. Raum und Form

(9) Punkte in das Schrägbild eines 3-dim kartesischen KS eintragen
(13) Lagebeziehung von Geraden untersuchen und gegebenenfalls den Schnittpunkt bestimmen

Der Übergang ins 3-dimensionale wird nun begonnen, jedoch lediglich durch "einfaches" Punkte eintragen. Nun kann nicht nur die Art der Lösungsmenge eines LGS mit n=2 bestimmt werden, sondern auch deren Lösungsmenge. 3. Funktionaler Zusammenhang Hier kommt laut Bildungsplan nichts neues dazu. 11. und 12. Klasse 1. Zahl - Variable - Operation

(11) Das Gaußverfahren zum Lösen eines LGS als Bsp für ein algorithmisches Verfahren erläutern
(12) Das Gaußverfahren, auch in Matrixschreibweise, zum Lösen eines LGS
(13) Die Lösungsmenge eines 3 dim. LGS geometrisch interpretieren

Nun wird der Übergang zu dreidimensionalen LGS gemacht, mitsamt der neuen Matrixschreibweise. Zum Lösen wird das Gaußverfahren wird, welches sich dem Additionsverfahren und Zeilenvertauschungen bedient. Das Gaußverfahren allgemein wird zwar nicht geometrisch interpretiert, allerdings die verschiedenen Schnittgebilde, welche beim Schnitt von bis zu drei Ebenen zustande kommen können (leere Menge, Punkt, Gerade, Ebene). 2. Raum und Form

(4) Ebenen mithilfe einer Koordinatengleichung (und …) analytisch beschreiben
(6) Zwischen Gerade Ebene und Ebene Ebene die Lagebeziehung untersuchen sowie geg. die Schnittgebilde rechnerisch bestimmen

Die Koordinatengleichung für die analytische Beschreibung von Ebenen ist insofern relevant, da sie die übliche Form der Darstellung einer Ebene im Kontext eines LGS ist und somit den Übergang von Geometrie und analytischem Rechnen ermöglicht. Jegliche Schnittgebilde von Ebenen und Geraden können nun rechnerisch bestimmt werden. Diese Schnittgebilde können auch durch LGS dargestellt werden, wodurch unmittelbarer Bezug zum Thema besteht. 3. Funktionaler Zusammenhang Hier kommt laut Bildungsplan nichts neues dazu.

2. LGS mit n=2

Aspekte einer Variablen Bei der allgemeinen Formulierung eines LGS mit n=" fällt auf, dass zwischen "verschiedenen" Variablen unterschieden werden muss. Eine übliche Unterteilung gliedert Variablen in Gegendstandsaspekt, Einsetzungsaspekt und Kalkülaspekt. Beim Einsetzungsaspekt kann nochmal in Simultan- und Veränderlichenaspekt unterteilt werden, darauf wird hier jedoch nicht weiter eingegangen. Im Groben lassen sich die verschiedenen wie folgt definieren:

Gegenstandsaspekt: Variable als Lösungsvariable oder unbestimmte Zahl
Einsetzungsaspekt: Variable als Platzhalter für gewisse Zahlen, in die eingesetzt wird
Kalkülaspekt: Variable als bedeutungsloses Zeichen, mit dem operiert werden darf

Studierenden der Mathematik ist durch Konvention und Übung meist sofort klar, welche üblichen Buchstaben für welche Art von Variablen genutzt werden, und so die Lösungsvariablen (meist x,y,z) intuitiv erscheinen. Jedoch kann man dabei bei SuS nicht ausgehen, da die Erfahrung und Kenntnis mit dem Thema fehlt, und auch manchen schon eine Variable eine zu viel ist. Dementsprechend sollte bei Benutzung von Variablen mit verschiedenen Aspekten in einer Aufgabe entweder verzichtet werden, oder die Aufgabenstellung so präzise formuliert sein, dass kein Platz für Verwirrung und Überforderung gelassen wird. Diskussion der verschiedenen Verfahren zur Lösung eines LGS mit n=2 Im folgenden soll auf die verschiedenen Verfahren zur Lösung von Gleichungssystemen mit 2 Lösungsvariablen eingegangen werden. Dazu bieten sich das Additionsverfahren, das Einsetzungsverfahren und das Gleichsetzungsverfahren an. Je nach Aufgabentyp erscheinen verschiedene Verfahren intuitiver und einfacher, sodass prinzipiell jedes Verfahren seine Daseinsberechtigung hat. Allerdings ist im 3-dimensionalen Fall das Additionsverfahren den anderen haushoch überlegen, da das Gaußverfahren darauf aufbaut. Allerdings ist es auch das am wenigsten intuitive Verfahren, da nicht sofort auf der Hand liegt, warum das Addieren von zwei Gleichungen deren Lösungsmenge nicht ändert, wohingegen das Einsetzungsverfahren und Gleichsetzungsverfahren (deren Grenze auch nicht immer klar definiert ist) schneller nachvollziehbar erscheinen.

3. LGS mit n=3

Allgemeines Im Grunde unterscheidet sich die Behandlung von LGS mit 3 Lösungsvariablen nicht stark von der mit 2. Nur werden hier die Lösungen der einzelnen Gleichungen durch Ebenen repräsentiert statt von Ebenen, zur Lösungsbestimmung wird hauptsächlich das Additionsverfahren verwendet und es ergeben sich durch die zusätzliche Dimension neue Möglichkeiten für Lösungsgebilde. Diese können wie bisher die leere Menge, ein Punkt und eine Gerade sein, nur dass sich diese nun im dreidimensionalen Raum befinden, und es kommt zusätzlich eine ganze Ebene als Lösungsmenge dazu. Einführung in das Thema Um in das Thema einzusteigen ist es auf jeden Fall ratsam, die Lösungsmöglichkeiten nach dem EIS-Prinzip einzuführen: Dabei können beispielsweise durch die SuS mittels Blatt und Stift Ebenen und Geraden simuliert werden, sodass mögliche Schnittmengen intuitiv erscheinen (enaktiv). Weiter können Lösungsmengen unschwer geometrisch veranschaulicht werden, sodass das Denken und die Einordnung im 3-dim kartesischen KS präzisiert wird, und vielleicht sogar schon Parallelität und Orthogonalität zwischen Ebenen und Achsen erkannt werden können (ikonisch). Erst dann empfiehlt es sich, analytische Betrachtungen durchzuführen und Lösungsmengen zu bestimmen (symbolisch).

4. Äquivalenzumformungen

Allgemeines "äquivalenz" bedeutet "gleichwertig". Um lineare Gleichungssysteme lösen zu können, werden Gleichungen verändert und aus miteinander kombiniert, wodurch neue Gleichungen entstehen. Bei diesen Gleichungen gibt es eine eine Sache, die sie gemeinsam haben müssen, nämlich die Lösungsmenge. Demnach beschreiben Äquivalenzumformungen Veränderungen und Kombinationen von Gleichungen, deren Lösung "äquivalent" bleibt. Von diesen erlaubten Manipulationen von Gleichungen gibt es folgende:

Addition einer reellen Zahl oder eines Terms auf beiden Seiten der Gleichung
Multiplikation mit einer reellen Zahl bzw. mit einem Term ungleich null auf beiden Seiten der Gleichung
Addition zweier Gleichungen
Vertauschen von zwei Gleichungen

Geht man davon aus, dass die Gleichungen in der Form ax+by+cz=d angegeben sind, so lassen sich die Äquivalenzrelationen zu folgenden zusammenfassen:

Addition einer Gleichung oder dessen Vielfaches mit einer anderen
Vertauschen von zwei Gleichungen

Diese geometrisch zu verstehen, ist eine wichtige Vorbereitung für das Verstehen der geometrischen Interpretation des Gaußalgorithmus. Dies erste kann geometrisch, wie in folgenden Applets dargestellt, veranschaulicht werden. Die geometrische Interpretation der 2. ist trivial. (Bei beiden Applets wird ein Vielfaches der ersten Gleichung auf die zweite addiert, sodass eine Variable eliminiert werden kann.)

Äquivalenzumformung in 2D

Äquivalenzumformung in 3D (gelbe Ebene parallel zur y-Achse)

5. Gaußalgorithmus

Allgemein Beim Gaußalgorithmus werden nun die beiden Äquivalenzumformungen so genutzt, um nacheinander Variablen zu eliminieren, mit dem Ziel das LGS auf Zeilenstufenform zu bringen. Nun kann man durch Rückwärtseinsetzen die Lösung des LGS bestimmen. Führt man die Rechnungen fort, um zu einer Diagonalmatrix zu gelangen, spricht man form erweiterten Gaußalgorithmus oder dem Gauß-Jordan-Verfahren. Auf ein ausführliches Beispiel wird hier verzichtet, da auf durch einfachste Recherche genügend zu finden sind. Geometrische Interpretation Ausgehend von einem willkürlich gewähltem LGS mit n=3 (wir nehmen dass alle Koeffizienten = 0) liegen die 3 Ebenen willkürlich im Raum. Nach dem ersten Schritt des LGS ist nun eine Ebene parallel zu einer Koordinatenachse, abhängig von der zu eliminieren gewählten Variable. Mit jedem weiteren Schritt kommt es zu einer neuen Parallelität zwischen den Ebenen und den Achsen. Liegt das behandelte LGS nun in Diagonalmatrixform vor, so erhalten wir 3 Ebenen, welche zueinander senkrecht sind. Der Schnittpunt der Ebenen beschreibt nach wie vor die Lösung des LGS, und ist nun einfach abzulesen. Im folgenden Link wird ein ausführliches Beispiel aufgezeigt, bei dem jeweils LGS und zugehörige Darstellung im 3D-Rechner dargestellt sind: https://www.geogebra.org/m/kkpstxvb

6. Beispielaufgabe

Der zweite im Praktikum gestellte Aufgabenteil sieht wie folgt aus: In dieser Aufgabe beschäftigen wir uns mit dem Drehen von Ebenen als Form einer Äquivalenzumformung, in dem wir wie im Gaußverfahren eine Variable (hier: "x") eliminieren und das geometrisch sichtbar machen.

Erstelle die Ebenen E1: 6x-y-2z=3 und E2: -x+2y+z=5
Färbe die Ebenen in verschiedene Farben, sodasss es übersichtlich ist. Bestimme die Schnittgerade der Ebenen und färbe sie schwarz.
Erstelle einen Schieberegler für "t".
(Tipp: Falls du für "t" keinen Schieberegler erstellen kannst, erstelle einen für "a" und benenne ihn danach um).
Bestimme die Grenzen des Schiebereglers mit "0" und dem Vielfachen der Koeffizienten der gewählten Variable (hier: 6).
Erstelle eine neue Ebene, in der du die ersten beiden Ebenen addierst, nur dass die zweite mit "t" multiplizierst wird. Das sieht wie folgt aus: E3: (6x-y-2z) + t*(-x+2y+z) = 3 + t*5
Wenn der Schieberegler auf "t=0" steht, sollte die dritte Ebene mit der ersten Ebene übereinstimmen. Wenn der Schieberegler auf dem Maximum steht, sollte die dritte Ebene parallel zu der Achse der gewählten Variable (hier: "x") sein.
Drehe die Ebenen so, dass du sehen kannst, dass E3 parallel zur x-Achse ist.

Im ersten Aufgabenteil wurde der allgemeine Umgang mit dem 3D-Rechner in GeoGebra wiederholt und geübt. Nun geht es darum, diese Kompetenzen dahingehend zu verwenden, um einen repräsentativen Schritt des Gaußalgorithmus geometrisch zu veranschaulichen. Das Ziel ist es, ein Applet zu erstellen, wie es bei 4. Äquivalenzumformungen zur Veranschaulichung verwendet wird. Es stehen die Beschreibungen der einzelnen Schritte der Aufgabe, sowie ein leeres GeoGebra-Applet (welches bereits im 3D-Rechner-Modus ist) zur Verfügung. Die geplante Arbeitszeit für die Bearbeitung der Aufgabe beträgt in etwa 8 Minuten. Die ersten zwei Schritte sind bereits bekannt aus dem ersten Aufgabenteil; Hier werden lediglich zwei Ebenen in den Ebenen in den Raum gelegt und übersichtlich dargestellt. Danach wird ein Schieberegler erstellt (ebenfalls bekannt aus vorherigen Praktika), welcher für die nun zu erstellende Animation benötigt wird. Wenn man nur "t" in der Algebra-Ansicht bei GeoGebra eingibt, wird kein Schieberegler erstellt, sondern automatisch die Funktion "f(t)=t" erstellt, weswegen der in Schritt 5. beschrieben Tipp ein alternatives Vorgehen zum Erstellen des Schiebereglers mit dem Parameter "t" beschreibt. Die Grenzen des Schiebereglers werden so gewählt, dass bei t=0 nichts besonderes zu sehen ist, und bei t=6 der Schritt des Gaußalgorithmus durchgeführt wurde. Nun wird im 7.Schritt eine dritte Ebene erstellt, welche den Übergang während der Ausführung des Gaußalgorithmus repräsentieren soll. Leider kann man bei GeoGebra vorher definierte Gleichungen nicht addieren, sodass die Addition händisch eingegeben muss, was leider etwas unübersichtlich ist. Schiebt man nun den Schieberegler von 0 auf das Maximum, sieht man wie eine Ebene, die aus der ersten Ebene hervorgeht, sich entlang der Schnittgerade so verschiebt, dass sie letztendlich parallel zur x-Achse. Die Aufgabe hat sowohl die Funktion, den Umgang mit dem 3D-Rechner in GeoGebra zu üben, als auch zu verdeutlichen, was genau bei den einzelnen Schritten während des Gaußalgorithmus passiert.