垂線とチェバ線がそれぞれ一点で交わる点
一点を通るチェバ線の足から垂線を引いたとき一点で交わる条件
重心の足は中点。そこから垂線を立てると外心になる。
では、ある点のチェバ線の足から垂線を立てたとき、その垂線は一点で交わるか？
一点で交わるとは限らない。
では、どういうときに一点で交わるのだろうか。
チェバ線が一点で交わる条件は「チェバの定理」⇒チェバの定理 - Worksheet (geogebra.org)
垂線が一点で交わる条件は「垂線の定理」⇒垂線が一点に会する条件 – GeoGebra
この二つの定理を用いれば、表題の点を求めることができる。
まずＤを決めてＢＧとＣＥを未知数とすると、二つの関係から２元連立方程式ができるので、
ＢＧを消去すると二次方程式になりＣＥを求めることができる。
計算は大変だけど、ＧｅｏＧｅｂｒａなら正確に計算してくれる。
というわけで、下図のように求めた。
Ｄを決めると、垂線からＨが求まる。そしてチェバ線も一点Ｆとなる。
この３点から垂足円を作図すると等角共役点Ｒが求まる。
この垂足円は同時にチェバ円でもあり、チェバ円共役点Ｓが求まる。
したがって、Ｆのチェバ共役点Ｓが存在するので、
「一方が重心・外心関係にあれば、その等角共役点も重心・外心関係にある」ことが言える。
また、この４点は一直線上に並び、この直線は垂足円（チェバ円）の直径となる。
例えば、Ｄを中点にもっていくと、Ｈは外心になり、Ｆは重心（Ｘ２）となる。