25. Februar 2020 Diese Aktivität ist eine Seite des geogebra-books Moebiusebene
Eine DARBOUXsche Cyclide ist in kartesischen Koordinaten eine bizirkulare Fläche mit einer impliziten Gleichung des Typs:
- mit linearem und höchstens quadratischem , und reellen Koeffizienten.
Es handelt sich um die 3-dimensionale Fortsetzung der bizirkularen Quartiken in der Möbiusebene, fortgesetzt in den Möbiusraum.
Die räumliche Möbiusgeometrie handelt von Punkten, Kreisen und Kugeln.
Geraden bzw. Ebenen des kartesischen Raumes sind möbiusgeometrisch Kreise bzw. Kugeln des Möbiusraumes, sie gehen durch den einzigen zusätzlichen Punkt .
Die euklidischen Abbildungen werden durch die Inversionen (Spiegelungen) an Kugeln erweitert zu den Möbiustransformationen des Raumes.
In der Möbiusebene entstehen die bizirkularen Quartiken als Schnitt der Möbiusquadrik mit einer 2.-ten Quadrik.
Vorstellen kann man sich dies als Schnitt der Einheitskugel mit irgendeiner 2.-ten quadratischen Fläche. (Siehe dazu das geogebra-book Kugel-Kegelschnitte).
Für DARBOUXsche Cycliden trifft dasselbe zu, allerdings weniger anschaulich eine Dimension höher: die Möbiusquadrik ist nun eine 3-dimensionale Kugel im 4-dimensionalen Raum!
Eigenschaften der bizirkularen Quartiken lassen sich übertragen auf die Cykliden und helfen bei der Veranschaulichung:
- Im regulärsten Falle besitzen DARBOUXsche Cycliden 5 paarweise orthogonale Symmetriekugeln, und sind daher invariant unter den zugehörigen Kugel-Inversionen; eine dieser Kugeln ist imaginär!
Mit einer Möbiustransformation des Raumes kann man dann erreichen, dass die 4 reellen Symmetrie-Kugeln die Koordinaten-Ebenen , , und die Einheitskugel sind.
Die DARBOUX-Cycliden-Gleichung reduziert sich in diesen Fällen auf
Für sind die zu den Koordinatenebenen symmetrischen Quadriken miterfasst. Die Symmetrie zur Einheitskugel entfällt dabei jedoch..
Für ergeben sich, reduziert auf die Koordinatenebenen, bizirkulare Quartiken in Normalform.
Im obigen und in den folgenden Applets legen wir für die -Ebene die bizirkuare Gleichungen in Normalform zugrunde.
Der Koeffizienten in -Richtung ist variabel. Die Schnitte mit den Ebenen = const lassen sich als Spur anzeigen:
StartAnimation - die Animationsgeschwindigkeit reguliert vhz.
Auf diese Weise erhält man einen Überblick über einige mögliche Formen der DARBOUXschen Cycliden!
Genauer erklärt wird die Erzeugungsweise auf der nächsten Seite.
Die Schnitte der Cyclide mit den Koordinatenebenen , bzw. können wir als ImpliziteKurven nur in der -Ebene darstellen. Durch "StartPkteAnimation" werden Punkte auf den Kurven in die zugehörige Ebene bewegt, und die dorthin gehörende implizite Kurve erscheint als Spur der bewegten Punkte.
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Zur Technik: eine Parameterdarstellung dieser Flächen ist uns nicht gelungen. Sie würde vieles vereinfachen und schönere Ergebnisse zeitigen.
Die Schnitte mit den Ebenen = const werden als ImpliziteKurven in berechnet und können in die richtige Höhe
in -Richtung verschoben werden. Leider können ImpliziteKurven im Raum nicht gedreht werden (?), daher werden die Schnitte mit der -Ebene und mit der -Ebene nur in der xy-Ebene angezeigt.
Literatur: H. Pottmann, Ling Shi, M. Skopenkov: "Darboux Cyclides and Webs from Circles" Computer Aided Geometric Design 29 2012)