E092 A forgatva nyújtás fő tétele
Térjünk vissza...
...a forgatva nyújtás itt tárgyalt összefüggéséhez, amely röviden összefoglalva arról szólt, hogy közös a centrumuk azoknak a forgatva nyújtásoknak, amelyek a négyszög szemközti oldalait egymásba viszik át.
A továbbiakban ennek az összefüggésnek egy fontos alkalmazásáról lesz szó.
Erről:
- Az ABCΔ pontjai rendre úgy mozognak a sík a, b, c egyenesén, hogy eközben a háromszög hasonló marad önmagához. Mit írnak le ez alatt a síknak az A, B, C pontokkal együtt mozgó pontjai?
- Ha egy F alakzat úgy változik önmagához hasonlóan , hogy az A, B, C pontjai közös ponton át nem menő egyeneseken mozognak, akkor az F alakzat minden pontja egyenest ír le.
Bizonyítsuk be, hogy...
... a feltételeinknek eleget tevő ABC háromszöggel együtt mozgó D pont valóban egy egyenest ír le.
Vizsgáljuk meg lépésenként ( a ▶ gombbal) az alábbi appletet.
- Az A0B0C0D0 négyszög csúcsai szabad alakzatok, az A0, B0, C0 pontokra illeszkedő egyenesek egy-egy további ⧫ pontja szintén. A rácsot bekapcsolva megvizsgálhatók a konstrukció speciális esetei is. Pl. mi történik akkor, ha az adott egyenesek közül bármely kettő, vagy mindhárom párhuzamos? Mi történik, ha mindhárom egyenes egy pontra illeszkedik? Előfordulhat-e olyan eset, amikor a négyszög valamely csúcsa helyben marad?
- A feltételeknek eleget tevő ABCD négyszöget az a egyenesen mozgó félig kötött A pont egyértelműen meghatározza. Az A0B0C0 Δ adataiból leolvasható, hogy milyen A csúcsú forgatva nyújtással állítható elő a B∈b illeszkedést kihasználva a C, majd ebből a B pont
- Ugyanígy szerkeszthető az A0B0D0 Δ adataiból a D pont.
- Itt kezdődik az állítás igazolása. Ehhez fogjuk felhasználni a forgatva nyújtás itt tárgyalt tulajdonságait. Megszerkesztjük annak a forgatva nyújtásnak a K centrumát, amely az A0B0 szakaszt a AB-be viszi át. Ez a forgatva nyújtás lényegében az egész A0B0C0D0 négyszöget az ABCD négyszögbe viszi.
- Ugyanez a K pont a centruma annak a forgatva nyújtásnak is, amely az a=A0A egyenest a B0B egyenesbe viszi. Ha a forgatás szöge az A0KD0∢ , a nyújtás aránya KD0/KA0 akkor ez a forgatva nyújtás az a=A0A egyenest éppen d=D0D egyenesbe viszi át. Ezt kellett igazolnunk.
Vegyük észre, hogy ...
... az 1. lépésben fel tudunk venni több olyan speciális esetet is - pl. B0∈a , vagy a, b, c egy pontra illeszkedik -, amelyek nem alkalmasak a 4. és 5. lépés elvégzésére, így az általános tétel igazolására. Bár az ABCD négyszög, így a d=(D0,D) egyenes ezekben az esetekben is megszerkeszthető. Többnyire kezelhetjük erős sejtésként, hogy az így kapott d egyenes sem függ az A pont megválasztásától. Mindezt másképpen kell(ene) igazolnunk.
Az itt bizonyított ill. csak sejtett eseteket d színével különböztettük meg.