Pontos críticos
Definição:
Seja uma função escalar de várias variáveis reais. Diz-se que é um ponto de mínimo local se existe uma bola aberta , contendo , tal que
.
Neste caso, é chamado de (valor) mínimo local.
Definição:
Seja uma função escalar de várias variáveis reais. Diz-se que é um ponto de mínimo global se
.
Neste caso, é chamado de (valor) mínimo global.
Abaixo apresentamos um applet com o caso de ponto de (valor) mínimo global. Observe o que ocorre com o vetor gradiente ao nos aproximarmos deste mínimo.
Definição:
Seja uma função escalar de várias variáveis reais. Diz-se que é um ponto de máximo local se existe uma bola aberta , contendo , tal que
.
Neste caso, é chamado de (valor) máximo local.
Definição:
Seja uma função escalar de várias variáveis reais. Diz-se que é um ponto de máximo global se
.
Neste caso, é chamado de (valor) máximo global.
A seguir, apresentamos um exemplo de função com um ponto de (valor) máximo global e um exemplo de uma função com infinitos pontos de (valor) máximo global. Observe o que ocorre com o vetor gradiente ao aproximarmos o ponto deste pontos
Definição:
Seja . Um ponto é denominado ponto crítico se ou caso uma das derivadas parciais não existirem.
Um ponto crítico, o qual as derivadas parciais existem, pode ser definido como um ponto de máximo, mínimo ou nenhum dos dois.
Um exemplo de ponto crítico que não é máximo nem mínimo é um ponto de sela. A seguir vem um exemplo onde a origem é um máximo na direção e o mínimo na direção .
Definição:
Seja . Se possui todas as derivadas parciais de segunda ordem em um conjunto aberto , podemos definir a matriz abaixo, que é chamada de matriz Hessiana de em .
Neste capítulo abordaremos apenas o caso . Seja , teremos a seguinte matriz
A determinante da matriz Hessiana é denominada Hessiano de e, o caso de é apresentado a seguir
Caso seja de classe em teremos que , logo a matriz Hessiana será simétrica, representada abaixo
,
e seu Hessiano será
Critério de Sylvester:
Seja uma função de classe em um aberto e seja , tal que e , então
i) Se e , então é um ponto de mínimo local da função .
ii) Se e , então é um ponto de máximo local da função .
iii) Se então é um ponto de sela da função .
Observações:
O critério anterior nada afirma sobre o ponto nestes casos:
a)
b) e
Este critério é também conhecido como " O teste das derivadas parciais de segunda ordem".
Nos applets abaixo é possível observar funções que apresentam pontos críticos com comportamentos distintos. Com as informações já apresentadas, tente definir quais pontos críticos representam cada tipo de valor ou o caso onde temos ponto de sela. Boa sorte e divirta-se!
OBS: No último applet não é apresentada a derivada parcial de segunda ordem devido ao peso computacional da mesma.
* O conteúdo apresentado foi gerado através das notas da professora Denise de Oliveira Pinto, do Departamento de Matemática Aplicada da Universidade Federal Fluminense*