APLICACIÓN A LA FUNCIÓN EXPONENCIAL
Planificación de clase – Módulo 5 (Con GeoGebra)
Profesor: Jorge Oviedo
Grupo: 4º de Liceo.
Tema: Función polinómica.
Tiempo Disponible: 45 minutos
OBJETIVOS:
Reconocer las características de la función exponencial, según el valor de su base, a partir de su representación gráfica.
Visualizar que las funciones exponenciales con bases inversas son simétricas respecto del eje y.
CONTENIDOS PREVIOS:
• Raíz de una función.
• Signo de una función.
• Corte con el eje y.
• Crecimiento y decrecimiento.
CONTENIDOS PROCEDIMENTALES
• Interpretar el gráfico y reconocer las características que cumplen las funciones exponenciales.
• Reconocer que el gráfico de la función depende del valor de la base “a”, identificándose dos modelos de gráficos claramente diferentes: uno cuando 0<a<1 y otro cando a>1.
• Graficar dos funciones con bases inversas en el mismo sistema de ejes, para lo cual deberán ingresar una nueva función.
CONTENIDOS CONCEPTUALES
Definición de función exponencial.
Gráfica de la función exponencial para cuando su base está definida entre cero y uno, y cuando es mayor a uno.
Funciones exponenciales con bases inversas; simétricas con respecto al eje y.
CONTENIDOS ACTITUDINALES
• Cuidado y valoración de las herramientas de la sala de informática.
• Disposición positiva e interés por la actividad propuesta, así como por el intercambio de ideas en la elaboración de conocimientos.
• Interacción respetuosa entre alumnos, y entre alumnos y profesor, tanto en lo que se refiere al pensamiento como con las producciones realizadas.
RECURSOS
• Recursos habituales: pizarrón, marcadores, actividad impresa
• Cañón Computadoras
• Applet de GeoGebra (link: http://www.ggbtu.be/2228161)
ACTIVIDAD
Estudio de la función exponencial.
1) Ingresa al applet de Geogebra que se encuentra en el siguiente link:
http://www.ggbtu.be/2228161
2) En el documento aparecerá una gráfica construida a partir de un deslizador, el cual te permitirá variar el valor de la base de la función exponencial. Teniendo en cuenta esto analiza el comportamiento de las siguientes funciones:
A) f(x)=2x ,,,g(x)=3x ,,,h(x)=(3/2)x ,,,i(x)=(7/4)x ,,, j(x)=(6/5)x
B) k(x)=(½)x ,,,m(x)=(2/3)x ,,,,m(x)=(1/4)x ,,,p(x)=0,4x ,,, q(x)=0,85x
¿Qué puedes observar en la gráfica al variar los valores de “a”? En particular, ¿que se observa cuando a<1, a=1, a>1?
Teniendo en cuenta las observaciones anteriores ¿Qué puedes decir de la función exponencial? ¿cómo es su gráfico?
3) Observando los gráficos:
a) ¿Cuál es el dominio de las funciones representadas?
b) ¿Cuál es el corte con el eje oy? c) ¿Tienen raíces? ¿Cuáles son? d) Realiza el estudio del signo.
e) ¿Son crecientes o decrecientes?
4) Grafica en un mismo par de ejes cartesianos las siguientes funciones exponenciales:
f(x) = 5x y g(x) = (1/5)x
¿Qué observas?
ESTRATEGIAS DIDACTICAS Y DESARROLLO DE CLASE
Se llevará a los alumnos a la sala de informática, mientras ingresan y se organizan se comentará que en dicho día se trabajará con una nueva función, la función exponencial. Para continuar con la clase será necesario definirla por lo cual se definirá de la siguiente manera:
Llamaremos función exponencial a toda función de la forma f(x)=ax, siendo “a” un número real positivo distinto de uno.
Se pedirá a los alumnos que copien dicha definición en sus cuadernos y luego se ubiquen de a dos por computadora para realizar la actividad. A medida que se vayan organizando se repartirán las consignas de la actividad.
Para esta primera parte se estima que serán necesarios entre 5 y 10 minutos de la clase, teniendo en cuenta el ingreso y entrada en clima y algunos para escribir la definición.
Luego de organizarse en duplas se pedirá a los alumnos que lean las primeras dos
partes de la consigna, realizando a continuación las aclaraciones necesarias. Se comentará que la idea de esta primera parte será que ellos logren comprender cuál es el comportamiento de la función a estudiar.
Se destinará un tiempo de 5 minutos para que ellos puedan observar el applet, investigarlo y analizar los gráficos a partir de las preguntas que se plantea en la actividad.
Terminado el análisis se pedirá a los alumnos que dejen un momento las computadoras y atiendan, para comenzar a comentar algunas conclusiones sobre la función exponencial. Para ello se comentara preguntando: “¿Qué observaron en la gráfica al variar el valor de “a”?¿Qué pasaba en esos casos particulares que se preguntaban ¿cómo es el gráfico?, ¿Por qué creen entonces que en la definición dice que a tiene que ser distinto de 1?¿cómo se llama la función que aparece cuando “a” es 1?”
A partir de estas preguntas se irá guiando a los alumnos para visualizar que la gráfica de la función exponencial es una curva que dependiendo del valor de la base va a ser creciente o decreciente. Se hablara del caso particular de a=1, para deducir que en este caso estamos frente a una función constante y por ello se descarta dicho valor en la definición de función exponencial.
Se dejarán planteadas en el pizarrón las conclusiones y se les dirá a los alumnos que las vayan copiando a medida que se escriben, para ir agilizando el tiempo. Ya que se pretende que esta puesta en común no lleve más de cinco minutos.
Luego de esto se pedirá que lean la tercera y cuarta parte de la actividad. Para comenzar la tercera parte será necesario que recuerden lo que es el dominio de una función, por lo cual se les preguntará “¿Qué es el dominio de una función? ¿alguien lo recuerda de algún otro curso?” Si alguno tiene alguna idea se tomará la misma para poder explicarla, de lo contrario se les recordara que el dominio de una función son los valores de x que tienen imagen, es decir que son los valores de x que tienen asociado un f(x). Es decir que ellos tienen que analizar si todo x tiene su correspondiente a través de la función exponencial o existe algún valor que no lo tenga.
Se les dará un tiempo para que ellos puedan trabajar y responder la consigna. Mientras tanto recorreré los grupos para ir observando cómo trabajan y saber cuándo van terminando para explicar cómo graficar la función g(x)=(1/5) x de la parte 4. Para explicar esto se les irá mostrando con el cañón en donde tienen que ubicarse y como deben ingresarla, aclarando que en el caso de que ingresen la función “g” deben poner la base entre paréntesis.
Explicado esto se los dejará que continúen trabajando. Faltando quince minutos se cortará la clase para realizar la puesta en común. Para esto se comenzará preguntando “¿A qué conclusiones llegaron en la parte tres? ¿Cuál era el dominio de la función exponencial? ¿Todos los valores de x tienen imagen o alguno no la tiene?” De ser necesario se explicará que cuando no existe ningún valor de “x” que no tenga imagen, es decir cuando todo valor de x tiene imagen decimos que el dominio son todos los números reales. Y se continuará con las siguientes preguntas.
Cuando se pregunte cual es el corte con Oy, la dificultad que puede presentarse es que los alumnos confundan el corte con la ordenada en el origen, en este caso se aclarará que la intersección entre el gráfico y el eje se da en un punto y se les preguntará “¿cuáles son las coordenadas de dicho punto?”
Se continuara con las siguientes preguntas “¿Tienen raíces estas funciones? ¿Qué quiere decir que un valor x es raíces de la función? ¿cuál es la imagen de la raíz? ¿existe algún valor de x que haga que por ejemplo 2x valga cero? Si las funciones no tienen raíces, ¿cómo realizo el signo? ¿cómo son las imágenes de estas funciones? ¿Son crecientes o decrecientes las funciones? ¿Para qué valores de a la función es creciente y para cuales decreciente?
A medida que se van respondiendo las preguntas se irán planteando las respuestas en el pizarrón y se les dirá a los alumnos que si tienen algo mal o algo incompleto lo modifiquen para que a todos les quede completo el cuaderno.
A continuación mirando el gráfico en el pizarrón y con las conclusiones que los alumnos ya visualizaron se intentará deducir las semejanzas y diferencias de estas dos funciones.
“Con respecto a la parte cuatro, ¿qué visualizaron? ¿Cómo son estas funciones?
¿tienen similitudes? ¿Cuáles? ¿Cómo es su dominio? ¿Y sus imágenes? ¿Tienen alguna diferencia? ¿Cómo son sus bases? ¿Qué características tienen sus gráficos?”
Se intentará concluir la clase con esta comparación. En el caso que el tiempo no lo permita se concluirá con la parte tres dejando la comparación para la próxima clase. Como cierre de la clase se les preguntará “¿Qué trabajamos hoy? ¿Cómo son las funciones exponenciales? ¿Qué características tienen las funciones exponenciales cuyas bases son inversas?
ACCIONES
o Generar las diferentes funciones moviendo el deslizador o dándole valores a la base de la función exponencial.
o Analizar las características de las diferentes funciones a partir de su gráfico.
o Describir el comportamiento de las funciones en función de las diferentes bases a partir de un cuestionario.
o Utilizar el deslizador para graficar una función e ingresar una nueva función exponencial en el mismo par de ejes.
o Comparar las dos funciones y analizar las semejanzas y diferencias de estas.
EVALUACIÓN
Durante el desarrollo de clase se evaluara a los estudiantes en su trabajo grupal así como sus participaciones orales, para lo cual será necesario que estos atiendan en la clase para que vayan comprendiendo tanto la parte de la consigna que se va realizando como las preguntas del profesor.
En primer lugar se enfocará la atención en la conceptualización de las funciones polinómicas, por lo que se evaluará que los alumnos sean capaces de reconocer las características de las funciones exponenciales y comprender su comportamiento según el valor de su base.
Con las últimas dos partes de la actividad se evaluará que los estudiabtes sean capaces de comparar y reconocer gráficamente las semejanzas y diferencias que existen entre dos funciones exponenciales con bases inversas.
También se evaluará el comportamiento y disposición de los alumnos para trabajar en el aula de informática y con una modalidad de clase diferente a la que se encuentran habitualmente.
SOLUCION DE LA ACTIVIDAD
2) En el documento les aparecerá una gráfica construida a partir de un deslizador, el cual te permitirá variar el valor de la base de la función exponencial. Teniendo en cuenta esto analiza el comportamiento de las siguientes funciones:
A) f(x)=2x ,,,g(x)=3x ,,,h(x)=(3/2)x ,,,i(x)=(7/4)x ,,,j(x)=(6/5)x
B) f(x)=(½)x ,,,g(x)=(2/3)x ,,,,h(x)=(1/4)x ,,,i(x)=0,4x ,,,j(x)=0,85x
¿Qué se va observando en la gráfica al varear los valores de “a”? En particular,
¿que se observa cuando a<1, a=1, a>1?
Teniendo en cuenta las observaciones anteriores ¿Qué puedes decir de la función exponencial? ¿cómo es su gráfico?
Como ideas principales, al analizar estos gráficos sin observar detalladamente sus características, sino con el objetivo de entender el comportamiento de la función podemos deducir que:
El gráfico de la función exponencial es una curva que varía según el valor de la base a. Para el caso de las funciones de la parte A el gráfico es creciente, mientras que para las funciones de la parte B el gráfico es decreciente.
Cuando a=1 la función es f(x)=1x. En este caso particular, para cualquier valor de x real f(x)=1, resultando como gráfico una recta paralela al eje de las abscisas. Es decir que se trata de una función constante, por lo cual no se habla de una función exponencial, y por ello se define que la base tiene que ser distinta de uno.
3) Observando los gráficos:
a) ¿Cuál es el dominio de las siguientes funciones?
b) ¿Cuál es el corte con el eje oy? c) ¿Tienen raíces? ¿Cuáles son? d) Realiza el estudio del signo.
e) ¿Son crecientes o decrecientes?
a) El dominio de las funciones exponenciales son los reales.
b) El corte con el eje y de todas las funciones es el punto (0,1). Ya que para cualquier valor de a la función es f(0)=a0 y por definición de potencia a0=1
c) Sin importar el valor de a, las funciones exponenciales no tienen raíces ya que ax>0
e) Las funciones de la parte A, en donde la base es un número real mayor que uno, son crecientes. Las funciones de la parte B, en donde la base es un número real mayor entre cero y uno, son funciones decrecientes. Sus imágenes son todas positivas.
4) Grafica en un mismo par de ejes cartesianos las siguientes funciones exponenciales:
f(x) = 5x y g(x) = (1/5)x
¿Qué observas
En este caso las funciones como ya habíamos vistos tienen el mismo dominio y sus imágenes son todas positivas.
Pero tienen características diferentes:
►f(x)=5x es creciente, es decir que a medida que aumenta el valor de x aumenta el valor fe f(x), y g(x)=(1/5)x es decreciente, es decir que al aumentar el valor de x disminuye el valor de g(x), acercándose cada vez más a cero.
►La base de f(x) y la de g(x) son inversas, es decir que al multiplicarlas obtengo el neutro de la multiplicación.
►Las gráficas de f(x)y g(x) son simétricas con respecto al eje y.
BIBLIOGRAFIA CONSULTADA
Fernandez Val, (2011). “Matematica de Bachillerato, 2° año núcleo común” (3ra edición). Uruguay, Ediciones del palacio.
Planificación de clase – Módulo 5 (Sin GeoGebra)
Profesor: Jorge Oviedo
Grupo: 4º de Liceo.
Tema: Función polinómica.
Tiempo Disponible: 45 minutos
OBJETIVOS:
Reconocer las características de la función exponencial, según el valor de su base, a partir de su representación gráfica.
CONTENIDOS PREVIOS:
• Raíz de una función.
• Signo de una función.
• Corte con el eje y.
• Crecimiento y decrecimiento.
CONTENIDOS PROCEDIMENTALES
• Interpretar el gráfico y reconocer las características que cumplen las funciones exponenciales.
• Reconocer que el gráfico de la función depende del valor de la base “a”, identificándose dos modelos de gráficos claramente diferentes: uno cuando 0<a<1 y otro cando a>1.
CONTENIDOS CONCEPTUALES
Definición de función exponencial.
Gráfica de la función exponencial para cuando su base está definida entre cero y uno, y cuando es mayor a uno.
CONTENIDOS ACTITUDINALES
• Disposición positiva e interés por la actividad propuesta, así como por el intercambio de ideas en la elaboración de conocimientos.
• Interacción respetuosa entre alumnos, y entre alumnos y profesor, tanto en lo que se refiere al pensamiento como con las producciones realizadas.
RECURSOS
• Recursos habituales: pizarrón, marcadores, actividad impresa
• Hojas A4 con gráficas de funciones exponenciales
ACTIVIDAD
Estudio de la función exponencial.
1) Utiliza la hoja A4 cuadriculada que viene con la actividad para graficar una de las siguientes funciones:
(A) f(x)=2x ,,,g(x)=3x ,,,h(x)=(3/2)x ,,,i(x)=(7/4)x ,,, j(x)=(6/5)x
(B) k(x)=(½)x ,,,m(x)=(2/3)x ,,,m(x)=(1/4)x ,,,p(x)=0,4x ,,, q(x)=0,85x
Para ello completa una de las siguientes tablas (según la fila en donde se encuentre la función que hayas escogido), ubica los puntos en el sistema de ejes y únelos a mano alzada.
(El número “a” es la base de la función exponencial que elegiste)
Si escoges una función ...................... Si escoges una función
de la fila ”A” ................................. de la fila ”B”
x ax ............................ x ax
-4 ..................................... -4
-2 ..................................... -7/2
0 ..................................... -3
1/2 ..................................... -5/2
1 ..................................... -2
3/2 ..................................... -3/2
2 ..................................... -1
5/2 ..................................... -1/2
3 ..................................... 0
7/2 ..................................... 2
4 ..................................... 4
2) Observa los diferentes gráficos que construyeron tus compañeros, los cuales están asociados a funciones exponenciales de diferentes bases.
Teniendo en cuenta esto analiza el comportamiento de dichas funciones:
(A) f(x)=2x ,,,g(x)=3x ,,,h(x)=(3/2)x ,,,i(x)=(7/4)x ,,, j(x)=(6/5)x
(B) k(x)=(½)x ,,,m(x)=(2/3)x ,,,m(x)=(1/4)x ,,,p(x)=0,4x ,,, q(x)=0,85x
¿Qué observas en las diferentes gráficas según los diferentes valores de la base “a”? En particular, ¿qué se observa cuando a<1, y cuando a>1?
Analiza lo que ocurre cuando a=1.
Teniendo en cuenta las observaciones anteriores ¿Qué puedes decir de la función exponencial? ¿cómo es su gráfico?
3) Observando los gráficos:
a) ¿Cuál es el dominio de las funciones representadas?
b) ¿Cuál es el corte con el eje oy? c) ¿Tienen raíces? ¿Cuáles son? d) Realiza el estudio del signo.
e) ¿Son crecientes o decrecientes?
4) Grafica en un mismo par de ejes cartesianos las siguientes funciones exponenciales:
f(x) = 2 X y k(x) = (1/2)X
¿Qué observas?
ESTRATEGIAS DIDACTICAS Y DESARROLLO DE CLASE
Al comenzar la clase se comentará que en dicho día se trabajará con una nueva función, la función exponencial. Para continuar con la clase será necesario definirla por lo cual se definirá de la siguiente manera:
Llamaremos función exponencial a toda función de la forma f(x)=ax, siendo “a” un número real positivo distinto de uno.
Se pedirá a los alumnos que copien dicha definición en sus cuadernos y luego se agrupen de a dos para realizar la actividad. A medida que se vayan organizando se repartirán las consignas de dicha actividad.
Para esta primera parte se estima que serán necesarios entre 5 y 10 minutos de la clase, teniendo en cuenta el ingreso y entrada en clima y algunos para escribir la definición.
Cuando los estudiantes estén agrupados correctamente podrán comenzar con la actividad, la cual trae consigo hojas A4 cuadriculadas para que posteriormente grafiquen funciones en ellas. Para la primer parte de la actividad, se pretende que cada grupo escoja una función diferente, pero en otro caso se podrán repetir algunas funciones.
Cuando todos hayan terminado de ubicar todos los puntos en el sistema de ejes cartesianos y, posteriormente haber trazado la función a mano alzada, pediré todas las hojas para pegarlas en el pizarrón y que todos puedan ver cada función y así continuar con las demás partes de la actividad.
(Se estima alrededor de 5 a 10 minutos en esta labor)
Luego, se destinará un determinado tiempo para que los estudiantes observen y analicen los diferentes gráficos que encuentran en la pizarra y respondan las preguntas de las primeras partes de la actividad.
(alrededor de 8 minutos )
Terminado el análisis se pedirá a los alumnos que dejen un momento de trabajar y atiendan al docente, para comenzar a comentar algunas conclusiones sobre lo que observaron. Para ello realizaré preguntas guía: “¿Qué observaron en los gráficos según varía el valor de “a”?¿cómo es el gráfico cuando a=1?, ¿Por qué creen entonces que en la definición dice que “a” tiene que ser distinto de 1?¿cómo se llama la función que se obtiene cuando “a” es 1?”
A partir de estas preguntas se irá guiando a los alumnos para visualizar que la gráfica de la función exponencial es una curva que dependiendo del valor de la base va a ser creciente o decreciente. Se hablará del caso particular de a=1, para deducir que en este caso estamos frente a una función constante y por ello se descarta dicho valor en la definición de función exponencial.
Se dejarán planteadas en el pizarrón las conclusiones y se les dirá a los alumnos que las vayan copiando a medida que se escriben, para ir agilizando el tiempo. Ya que se pretende que esta puesta en común no lleve más de cinco minutos.
Luego de esto se pedirá que lean la tercera y cuarta parte de la actividad. Para comenzar la tercera parte será necesario que recuerden lo que es el dominio de una función, por lo cual se les preguntará “¿Qué es el dominio de una función?. Ellos tendrán que analizar si todo “x” tiene su correspondiente a través de la función exponencial o existe algún valor que no lo tenga.
Se les dará un tiempo para que puedan trabajar y responder la consigna.
Faltando 10 minutos procederemos a la puesta en común. Para esto se comenzará preguntando “¿A qué conclusiones llegaron en la parte tres? ¿Cuál era el dominio de la función exponencial? ¿Todos los valores de “x” tienen imagen o alguno no la tiene?”.
Cuando se pregunte cual es el corte oy, la dificultad que puede presentarse es que los alumnos confundan el corte con la ordenada en el origen, en este caso se aclarará que la intersección entre el gráfico y el eje se da en un punto y se les preguntará “¿cuáles son las coordenadas de dicho punto?”
Se continuará con las siguientes preguntas “¿Tienen raíces estas funciones?¿cuál es la imagen de la raíz? Si las funciones no tienen raíces, ¿cómo realizo el signo? ¿cómo son las imágenes de estas funciones? ¿Son crecientes o decrecientes las funciones? ¿Para qué valores de “a” la función es creciente y para cuales decreciente?
A medida que se van respondiendo las preguntas se irán planteando las respuestas en el pizarrón .
Con esto, se concluyen las primeras 3 partes de la actividad y, para la parte 4 se realizarán preguntas que guíe la atención de los estudiantes en las características de los gráficos que hará notar una simetría. Esta parte de la actividad quedará como tarea domiciliaria.
¿Qué visualizaron? ¿Cómo son estas funciones?¿tienen similitudes? ¿Cuáles? ¿Cómo es su dominio? ¿Y sus imágenes? ¿Tienen alguna diferencia? ¿Cómo son sus bases? ¿Qué características tienen sus gráficos?”
BIBLIOGRAFIA CONSULTADA
Fernandez Val, (2011). “Matematica de Bachillerato, 2° año nucleo común” (3ra edición). Uruguay, Ediciones del palacio.