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Superficies cuárticas con varios planos de simetría. Goursat

Autor:Javier Cayetano Rodríguez
Por superficie de Goursat nos referimos a la familia de superficies que se corresponden con la ecuación cuártica

,

que fueron estudiadas por el matemático francés Edouard Goursat (1858-1936). Estas superficies tienen el mismo grupo de simetrías que el cubo. En el enlace https://mathcurve.com/surfaces.gb/goursat/goursat.shtml podemos visualizar algunos casos de esta familia de superficies.
  • De forma general, también se denomina superficie de Goursat a las familias de superficies algebraicas que tienen el mismo grupo de simetría que cierto poliedro regular. Por ejemplo, para la familia con las simetrías del tetraedro regular, la expresión algebraica sería .
  • El enlace anterior incluye también la familia con el grupo de simetría del dodecaedro; su expresión algebraica y algunos ejemplos.
En el siguiente applet podemos visualizar diferentes ejemplos de la familia con la simetría del cubo, modificando el valor de los parámetros mediante el desplazamiento de algunos puntos que hemos situado sobre la figura (se mostrarán al activar la casilla Opciones) Como generalización de la familia de superficies, podemos relajar alguna de las condiciones de la expresión algebraica para que el grupo de simetría sea el de un ortoedro (desactivar la casilla tipo cubo y mover los puntos azules para modificar ese ortoedro).

Superficies con el grupo de simetría de un ortoedro

Diferentes renderizados de la superficie
Diferentes renderizados de la superficie

Parametrizando la superficie

Una forma de crear la superficie en GeoGebra es parametrizarla, resolviendo la ecuación correspondiente al despejar la altura z en función de los valores de x e y. Fíjate en que el applet ofrece cuatro zonas diferentes para mostrar, correspondientes a las soluciones obtenidas.

  • Realiza este mismo proceso e indica la expresión algebraica que obtienes para esas 4 zonas. (*) Si encuentras otro método alternativo para expresar la superficie, puedes indicarlo también.
  • Comprueba que las expresiones son correctas, utilizando el comando Superficie de GeoGebra para representar las 4 zonas para algún caso concreto, o bien con deslizadores para los parámetros k y a de la familia de superficies.

Familia de superficies con el grupo de simetrías de un ortoedro

Como habrás podido comprobar en el applet, es posible modificar la familia para que el grupo de simetría sea el de un ortoedro que elijamos, en lugar del de un cubo.

  • A partir de la expresión algebraica de la familia con la simetría del cubo, investiga la forma de lograr una familia con la simetría de cierto ortoedro (que no sea un cubo). Indica aquí la expresión que has utilizado e indica el proceso que has seguido para obtenerla.
  • Utiliza GeoGebra para representar algunos ejemplos de la familia (puedes usar la técnica del ejercicio anterior) para comprobar que, efectivamente, la familia que has dado tiene la simetría del ortoedro.
  • Si quieres, puedes utilizar deslizadores para permitir un ortoedro más "genérico". Los deslizadores pueden modificarse numéricamente o bien como en el applet anterior, dependiendo de un punto de la vista 3D.

Ampliación

En este corto muestran una animación con diferentes tipos de superficies cuárticas.

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