L'inégalité triangulaire
Dans le plan
Ce que l'on appelle l'inégalité triangulaire dans le plan stipule qu'il est plus court de voyager en ligne droite pour aller d'un point à un autre que de faire un détour par un autre point...
On peut le voir en construisant un triangle quelconque. On remarque alors que la somme de deux côtés est plus grande que le troisième. Par exemple,
Il est facile de s'en convaincre en regardant l'appliquette ci-dessous. Lorsque le point se trouve directement sur le côté , on a que , mais il n'y a plus de triangle... Dès l'instant où s'élève au-dessus du côté , les deux côtés et deviennent de plus en plus grands et leur somme est nécessairement plus grande que le segment .
Sur la sphère
L'inégalité triangulaire tient pour un triangle sphérique quelconque : la somme de deux côtés est plus grande que le troisième. Pour s'en convaincre, on raisonne de la même façon que pour un triangle dans le plan.
On glisse le point jusqu'à ce qu'il repose sur l'arc . À ce moment, il n'y a plus de triangle sphérique, mais l'on voit que l'arc est recouvert parfaitement par les deux arcs et . D'où .
Au fur et à mesure que l'on glisse le point sur la sphère au-dessus du côté , les côtés et du triangle deviennent de plus en plus grands. Comme au minimum nous avions que , nous concluons avec joie que
Et uniquement pour des arcs de grands cercles
Dans l'appliquette ci-dessous, l'arc qui relie les points et est un arc de petit cercle. Il est clair que l'inégalité triangulaire ne tient pas dans ce cas. Il faut ainsi retenir que l'inégalité triangulaire n'est valide que pour des arcs de grands cercles. Elle est donc moins banale qu'elle n'y paraît.