Movimientos en el plano
1. Movimientos
1.1. Transformación geométrica
T es una operación que asigna a cada punto P otro punto T(P)=P' según un criterio determinado.
1.2. Homólogo
Relación que establecen aquellos lados que están situados igual orden en todas las figuras que se califican como semejantes.
1.3. Movimientos
Una transformación que conserva las distancias y los ángulos se denomina movimiento o isometría.
1.4. Sentido del recorrido
Los movimientos que conservan el sentido del recorrido se denominan movimientos directo, y los que cambian, movimientos inversos.
1.5. Punto invariante
Si al transformado de un punto Por un transformación T es el propio P, es decir, T(P)=P, se dice que P es invariante.
1.6. Homotecias
Una transformación geométrica en el plano que transforma la figura en otra de la misma forma pero tamaño diferente se denomina homotecia.
Homólogo, Movimiento
Movimiento directo
Movimiento inverso
Punto invariante
Homotecia
2. Taslaciones
Una traslación viene determinada por un elemento geométrico denominada vector
2.1. Vector
Dados dos puntos A y B, el segmento orientado desde A hasta B se llama vector fijo de origen A y extremo B.
Las características de un vector fijo son las siguientes:
-Módulo: es la longitud del segmento de extremos A y B.
-Dirección: es la recta que pas por A y B.
-Sentido: es lo que indica la flecha.
2.2. Vector libre
El conjunto formado por todos los vectores fijos que tienen módulo, dirección y sentido iguales se llama vector libre. Decimos que cada vector fijo es un representante del vector libre.
2.3. Traslación de vector libre v
Es una transformación tal que a cada punto p le hace corresponder un punto P´de modo que PP´ sea un representante de v.
2.4. Componentes de un vector
Un vector puede entenderse como la expresión de dos desplazamientos simultáneos en el plano: uno en horizontal y otro en vertical. La magnitud de estos desplazamientos son los componentes del vector.
2.5. Suma de vectores y composición de traslaciones
Para sumar gráficamente los vectores libres u y v, tomamos representantes u y vde manera que el origen de v coincida con
Traslación
Vectores libres
Composición de traslaciones y suma de vectores
3. Giros
3.1. Giros
Son movimientos en el plano, ya que conservan los ángulos y las distancias, son movimientos directos el único punto que permanece invariante.
3.2. Centro de un giro
Para localizar el centro de un giro primero debemos conocer al menos dos puntos, P y Q y sus homólogos respectivos, P' y Q'.
3.3. Ángulo de giro
Esta determinado por α del que hay que saber el sentido del giro.
3.4. Determinación del centro de giro
Para localizar el centro de giro debemos conocer al menos dos punto P y Q, y sus homólogos P' y Q' Para determinar el centro de giro debemos:
- Trazar los segmentos PP' y QQ'.
- Dibujar las mediatizas de estos segmentos.
3.5. Figuras con centro de giro de orden n
Si, al efectuar un giro de centro n y ángulo alpha menor que 360, una figura coincide consigo misma, se dice que O es un centro de giro de la figura
figura con centro de giro en y
figura con centro de giro
Composición de giros con el mismo centro
4. Simetrías axiales
4.1. Simetrías axiales
Es una transformación tal que a cada punto P' le hace corresponder un punto P' situado en la recta perpendicular por P el eje r y que verificad d(P,r)=d(P',r).
4.2. Figuras con simetría axial
Una figura presenta simetría axial si es invariante por una simetría axial de eje r. Esta recta es un eje de simetría de la figura.
4.3. Composición de simetrías axiales con ejes paralelos
El resultado dela composición es una traslación definida por un vector perpendicular a los ejes cuyo módulo es el doble de la distancia entre los ejes.
4.4. Composición de simetrías axiales con ejes secantes
El resultado de la composición es u giro definido por un centro O sitiado en el punto de intersección de los ejes.
Simetría axial
Figuras con simetría axial
simetría axial de ejes paralelos
Simetria central
5.1. Simetría central
Es una transformación tal que a cada punto P le hace corresponder un punto P' situado en la recta determinada por O y P y que verifica d(O,P)=d(O,P').
5.2 Determinación de eje de simetría
Puesto que es el punto medio del segmento determinado por un par de puntos homólogos, P y P', para localizarlo trazamos la mediatizó de segmento PP'.
5.3 Figuras con simetría central
Una figura presenta simetría central si es invariante por una simetría central de un punto O de la misma figura. Este punto O es el centro de simetría de la figura.
5.4. Composición de simetrías centrales del mismo centro
La composición de dos simetrías centrales del mismo centro transforma cada punto en si mismo: es la transformación de identidad.
5.5. Composición de simetrías centrales de distinto centro
Podemos obtener F'' aplicando a F una traslación definida por el vector O1/O3= 2* O1/O2, siendo =3 el resultado de aplicar la composición de dos simetrías a 01.
Simetría central
Figura con simetría central
Composición de simetria central con el mismo centro
Composición de simetrías centrales de distinto centro
Mosaicos
6.1. Mosaicos regulares
Se construyen a partir de la repetición y traslación de un único tipos de polígono regular.
6.2. Mosaicos semirregulares
Se llama mosaico semirregular al construido utilizando más de un tipo de polígono regular, con las siguientes restricciones:
-En vértice hay los mismos polígonos dispuestos de la misma manera
- Los lados de loa polígono utilizados deben tener la misma longitud.
6.3 Motivo mínimo
Repetición de un patrón de figuras planas en las que no hay piezas superpuestas ni partes de plano sin recubrir