Задачи на построение

Предложение, в котором разъясняется смысл того или иного выражения или названия, называется определением. Мы уже встречались с определениями, например с определением угла, смежных углов, равнобедренного треугольника и т. д. Дадим определение еще одной геометрической фигуры — окружности. Определение

Окружностью называется геометрическая фигура, состоящая из всех точек плоскости, расположенных на заданном расстоянии от данной точки.

Любые две точки окружности делят ее на две части. Каждая из этих частей называется дугой окружности. На рисунке ниже и — дуги, ограниченные точками А и В.

Для изображения окружности на чертеже пользуются циркулем. Чтобы провести окружность на местности, можно воспользоваться веревкой. Часть плоскости, ограниченная окружностью, называется кругом.

Мы уже имели дело с геометрическими построениями: проводили прямые, откладывали отрезки, равные данным, чертили углы, треугольники и другие фигуры. При этом мы пользовались масштабной линейкой, циркулем, транспортиром, чертежным угольником. Оказывается, что многие построения можно выполнить с помощью только циркуля и линейки без масштабных делений. Поэтому в геометрии специально выделяют те задачи на построение, которые решаются с помощью только этих двух инструментов. Что можно делать с их помощью? Ясно, что линейка позволяет провести произвольную прямую, а также построить прямую, проходящую через две данные точки. С помощью циркуля можно провести окружность произвольного радиуса, а также окружность с центром в данной точке и радиусом, равным данному отрезку. Выполняя эти несложные операции, мы сможем решитьмного интересных задач на построение: - построить угол, равный данному; - через данную точку провести прямую, перпендикулярную к данной прямой; - разделить данный отрезок пополам - и другие задачи. Начнем с простой задачи.

На данном луче от его начала отложить отрезок, равный данному.

Изобразим фигуры, данные в условии задачи: луч и отрезок (см. рисунок ниже, используй стрелки, чтобы перейти на следующий шаг построения). Затем циркулем построим окружность радиуса с центром . Эта окружность пересечет луч в некоторой точке . Отрезок — искомый.

Отложить от данного луча угол, равный данному.

Решение: Данный угол с вершиной и луч изображены на рисунке ниже. Требуется построить угол, равный углу , так, чтобы одна из его сторон совпала с лучом . Проведем окружность произвольного радиуса с центром в вершине данного угла. Эта окружность пересекает стороны угла в точках и . Затем проведем окружность того же радиуса с центром в начале данного луча . Она пересекает луч в точке . После этого построим окружность с центром , радиус которой равен . Окружности с центрами и пересекаются в двух точках. Одну из этих точек обозначим буквой . Докажем, что угол — искомый. Рассмотрим треугольники и . Отрезки и являются радиусами окружности с центром , а отрезки и — радиусами окружности с центром O. Так как по построению эти окружности имеют равные радиусы, то , . Также по построению . Следовательно, по трем сторонам. Поэтому , т.е. построенный угол равен данному углу . То же построение можно выполнить и на местности, если вместо циркуля воспользоваться веревкой,

Построить биссектрису данного угла.

Решение: Данный угол изображен на рисунке ниже. Проведем окружность произвольного радиуса с центром в вершине . Она пересечет стороны угла в точках и . Затем проведем две окружности одинакового радиуса с центрами в точках и . Они пересекутся в двух точках, из которых хотя бы одна лежит внутри угла. Обозначим ее буквой . Докажем, что луч является биссектрисой данного угла . Рассмотрим треугольники и . Они равны по трем сторонам. В самом деле, — общая сторона; и равны как радиусы одной и той же окружности; по построению. Из равенства треугольников и следует, что , т.е. луч — биссектриса данного угла .

Можно ли с помощью циркуля и линейки разделить данный угол на два равных угла? Ясно, что можно, — для этого нужно провести биссектрису этого угла. Данный угол можно разделить также на четыре равных угла. Для этого нужно разделить его пополам, а затем каждую половину разделить еще раз пополам. А можно ли с помощью циркуля и линейки разделить данный угол на три равных угла? Эта задача, получившая название задачи о трисекции угла, в течение многих веков привлекала внимание математиков. Лишь в ХХ веке было доказано, что для произвольного угла такое построение невозможно.

Даны прямая и точка на ней. Построить прямую, проходящую через данную точку и перпендикулярную к данной прямой.

Решение: Данная прямая и данная точка , принадлежащая этой прямой, изображены на рисунке ниже. На лучах прямой , исходящих из точки , отложим равные отрезки и . Затем построим две окружности с центрами и радиуса . Они пересекаются в двух точках: и . Проведем прямую через точку и одну из этих точек, например прямую , и докажем, что эта прямая — искомая, т.е. что она перпендикулярна к данной прямой . В самом деле, так как медиана равнобедренного треугольника является также высотой, то

Построить середину данного отрезка.

Пусть — данный отрезок. Построим две окружности с центрами и радиуса . Они пересекаются в точках и . Проведем прямую . Точка пересечения этой прямой с отрезком и есть искомая середина отрезка . В самом деле, треугольники и равны по трем сторонам, поэтому (см. рисунок ниже). Следовательно, отрезок — биссектриса равнобедренного треугольника , а значит, и медиана, т.е. точка — середина отрезка .

144. Отрезки и — диаметры окружности. Докажите, что: а) хорды и равны; б) хорды и равны; в) . 145. Отрезок — диаметр окружности с центром , а и — равные хорды этой окружности. Найдите . 146. Отрезки и — диаметры окружности с центром . Найдите периметр треугольника , если известно, что см, см. 147. На окружности с центром отмечены точки и так, что угол — прямой. Отрезок — диаметр окружности. Докажите, что хорды и равны. 148. На прямой даны две точки и . На продолжении луча отложите отрезок так, чтобы . 149. Даны прямая , точка , не лежащая на ней, и отрзок . Постройте точку на прямой так, чтобы . Всегда ли задача имеет решение? 150. Даны окружность, точка , не лежащая на ней, и отрезок . Постройте точку на окружности так, чтобы . Всегда ли задача имеет решение? 151. Даны острый угол и луч . Постройте угол так, чтобы . 152. Дан тупой угол . Постройте луч так, чтобы углы и были равными тупыми углами. 153. Даны прямая и точка , не лежащая на ней. Постройте прямую, проходящую через точку и перпендикулярную к прямой .