3.1 Introducción
Gauss y Jordan
Introducción
Este sistema puede abordarse por filas o por columnas. Queremos abordarlo en ambas formas. Visión Fila Este método se centra en ver las ecuaciones por separado (por filas). Es el más conocido, y en dos dimensiones se hace rápidamente. La ecuación se representa por una recta en el plano, la segunda ecuación ,produce una segunda recta (véase la figura ). Su pendiente es -1 y corta a la primera recta en la solución. El punto de intersección pertenece a ambas rectas. Se trata de la única solución de las dos ecuaciones. El punto , se encontrará pronto por "eliminación".
Visión Columna
El problema consiste en encontrar la combinación de los vectores columna en el miembro izquierdo que produce el vector del miembro derecho. Los vectores y se representan con las líneas gruesas . Las incógnitas son los números x y y que multiplican a los vectores columna. Toda la idea puede verse en la siguiente figura donde 2 veces la columna 1 se suma a 3 veces la columna 2. Geométricamente, así se obtiene un paralelogramo: Algebraicamente, se obtiene el vector correcto , en el miembro derecho de las ecuaciones. La representación por columnas confirma que x = 2 y y= 3.
(Opcional) Visión Fila Tres Dimensiones
En este caso la intersección de los tres planos da la solución del sistema de ecuaciones, en este caso el punto P=(1,1,2)
(Opcional) Visión Columna Tres Dimensiones
Estos son vectores columna tridimensionales. El vector b se identifica con el punto cuyas coordenadas son 5,-1,9 . Todo punto en el espacio tridimensional se hace corresponder con un vector y viceversa. Esta, era la idea de Descartes, quien transformó la geometría en álgebra al trabajar con las coordenadas del punto. Es posible escribir el vector en una columna, o sus componentes pueden enumerarse como b = (5, -2, 9), o incluso puede representarse geométricamente mediante una flecha a partir de su origen. Pueden elegirse la flecha, o el punto o los tres números. En seis dimensiones, quizá es más conveniente elegir los seis números. Cuando los componentes se enumeran horizontalmente, suele utilizarse paréntesis y comas, Y cuando el vector columna se indica verticalmente se usan llaves (sin comas). Lo que realmente importa es la suma de vectores y la multiplicación por un escalar (un número). En la figura l.4a se muestra una suma vectorial, componente por componente:
Otros Tres Planos