4 Tangenten und 1 Punkt
Zu 4 Geraden, von denen keine 3 durch einen gemeinsamen Punkt gehen, und einem vorgegebenen Punkt gibt es stets zwei Kegelschnitte durch diesen Punkt, welche die 4 Geraden berühren.
Liegt der Punkt auf einer der 4 Geraden, so fallen die beiden Kegelschnitte zusammen.
Auch hier gibt es nicht-reelle Lösungen.
Sie können sich die Kegelschnitt-Schar, welche durch die 4 Geraden festgelegt ist, anzeigen lassen und mit dem Schieberegler erforschen. Zu jeder Geraden durch P gibt es genau einen Kegelschnitt, welcher diese Gerade und die 4 vorgegebenen Geraden berührt. Zwei dieser Kegelschnitte besitzen P als Berührpunkt.
Wie konstruiert man so was?
5 Geraden bestimmen einen Kegelschnitt mit diesen Tangenten - falls sie sich in allgemeiner Lage befinden. Die Geraden durch P kann man linear beschreiben: mit zwei verschiedenen Geraden und durch P. Normalerweise besitzt ein Kegelschnitt, der eine solche Gerade berührt, zwei Tangenten, die durch P gehen. Will man sie berechnen, so muss man eine quadratische Gleichung lösen: da hilft die -Formel, welche zum Glück noch zum Schulstoff gehört! Wenn es nur eine Tangente an einen solchen Kegelschnitt gibt, der durch P geht, so ist P Berührpunkt, somit liegt P auf diesem Kegelschnitt.
Eine quadratische Gleichung hat bekanntlich nur dann nur eine Lösung, wenn die Diskriminante verschwindet: .
In dieser Diskriminante kommt quadratisch vor: die gesuchten 's sind also Lösungen einer quadratischen Gleichung, die man glücklicherweise sofort mit der -Formel direkt ausrechnen kann.
Dieses Arbeitsblatt ist Teil des Geogebrabooks Kegelschnitt-Werkzeuge