９．２次方程式と２次関数
★文字は０の隠れ家だ！
１.方程式の解とグラフ
このページは電子ブック「探求 数学Ⅰ」の一部です。
＜２次方程式（一般形）をグラフ的に解く＞
一般的な２次方程式ax2+bx+c=0の解は、２次関数（y=f(x)）とｘ軸（y=０）の一致。
yが一致するのは２次関数のグラフとｘ軸が交わるとき。
だから、２次関数のグラフとｘ軸の交点のｘ座標は２次方程式f(x)=0の解となる。
一般形f(x)=ax2+bx+c=0の解はa,b,cが＝０かどうかで場合わけが必要。
・a=0ならf(x)=0は２次方程式ではない。
a=b=c=0なら、y=f(x)=0は、ｘ軸そのものになるからｘは任意の実数。
a=b=0で、c=0でないときは、y=cはｘ軸との交点はないので、解なし。
a=0だが b=0でないなら、f(x)=bx+cとなる。bx+c=0となる解はｘ＝-c/b。
・a≠0なら、f(x)は2次方程式になる。
解の公式のルートの中の部分（判別式）D＝b2-4acが「正、０、負」の３通りに応じて、
実数解の個数は順に「２，１，０」個と判別できる。
Dが正なら公式の「±√D」部分の±が生きて２個解だできる。D=0なら±の効果がないから解が１個。
Dが負ならそもそも√負は実数ではないから０個。
グラフ的にはｘ軸との交点数が「２，１，０」個で、
２つのグラフは「２点で交わる、接する、離れる」となる。
２次方程式ax2+ｂx+c=0の解の公式の確認。
・一般に、x=（-ｂ±√D)/(2a)
・特別に１次の係数が偶数ｂ=2bなら、D=(2b)2-4ac=4(b2-ac) だから、D/4=b2-ac=dとすると、D=4d
だから、√D=√(4d)=2√d
x=（-b±√D)/(2a)=（-2b±2√d)/(2a)=2(-b±√d)/2(a)=(-b±√d)/a
この公式を使うには、１次の係数ｂを２で割ったものをbとし、他のa,cはそのまま使うこと。
慣れが少し必要な人もいるでしょう。機械的に暗記が得意な人以外は覚えてもよい。
ｂを２で割ると√の中の判別式をD/4とし、他は分母分子とも２で約せたストーリーを思い出そう。
・そもそも解の公式を忘れたとしても、平方完成（一次の係数ｂを２で割り平方を作る。平方を展開して増える、数の２乗を取り除く項をたす）を実行すればよい。
（例）
はｘ＝３，２のとき０
グラフとｘ軸との交点のｘ座標はの解でx＝2,3。
（例）
は常に正。
グラフとｘ軸は交わらないので、の解はなし。
（例）
はｘ＝３のときだけ０でそれ以外は正。
グラフとｘ軸は(3,0）で接する。の解はx=3（重複解）
（例）
「f(x)=x2+(k-4)x-2=0、g(x)=x2-2x-k=0が１つだけ実数解を共有するときのk」の値は？
y=f(x)とy=g(x)のグラフの交点のｘ座標を求める。
k=2だとグラフが同一となり共有解が２個になるからダメ。
関数を定数倍したy=p・f(x)+q・g(x)も、ｘ軸との交点の位置は変わらない。
だから、y=f(x)-g(x)という関数は共有解のｘ座標を通る。そのｘ座標で２式の両辺の差も０になる。
(k-4+2)x-2+k=0 (k-2)x+(k-2)=(k-2)(x+1)=0。
ｋ≠2だから、x=-1が共有解。１つの式に代入すると(-1)2-2(-1)=k=3
＜２次方程式の解の個数＞
２次関数y＝f(x)のグラフをかくには、
・f(x)=0の左辺を平方完成して頂点を求めたり、
・因数分解したり、
・２次方程式の解の判別式を使おう。
そうすれば、ｘ軸との交わる点の個数や座標がわかる。
（例）「ｙ=x2-3x+2の解の個数」は？
・平方完成から頂点。
２実数解。
・因数分解からｘ軸と２点(1,0),(2,0)で交わる。
・解の判別式から２実数解。
（例）「２次方程式x2-4x+k＝０の解の個数」は？
左辺をｙ＝ｘの２次関数として、グラフの概形を利用しよう。
から頂点の座標は(2,k-4)で下に凸。
・k-4<0なら交点が２つあり２実数解。
・k-4=0でｘ軸に接するから重解。
・k-4>0ならｘ軸から離れているので解なし。
・判別式D=からも
4-kと0との大小比較で解の個数（交点数）が出せるね。
＜解の範囲＞
ｘについての２次方程式が実変数ｍを持つとき、解はすべての実数になるとは限らない。
実数解を持てる範囲は判別式Dが非負になることである。
変数や関数に最大・最小があるのは、グラフにしたときの図形に端になる点があるということである。
２変数の２次曲線ならば、放物線、双曲線、円、楕円を
移動したり、回転した曲線を軸と垂直に動かすと、
存在する範囲がすべての実数ではなく、際になる位置があるというこことだね。
（例）
「x2+y2=1を満たす実数ｘ，ｙについてk=x+2y2の範囲」は？
関係式からｘの変域をもとめ、関係式からｋをｘの２次関数にしよう。
y2=1-x2は０以上。ｘ2は１以下だから、ｘは−１以上１以下。
k(x)=2-2x2+x=-2x2+x+2は上に凸で軸がx=1/4.k(1/4)=-1/8+1/4+2=17/8が最大値
軸がｘの変域の右よりだから、最小値は左の際k(-1)=-2-1+2=-１。だから、kは−１以上17/8以下。
（参考）
ｘ，ｙの２次式だから２次曲線どうしの交点の問題でもあるね。１つは円で、１つは放物線。
円は固定だが、放物線はｋ（ｘ＝０のときのｙだからｙ切片）の値で平行移動する。
交点が存在するように移動したときのｋの値の範囲を求めている。
（例）
「xの２次方程式x2+2mx+4m2+2m=0の実数解xの存在範囲」は？
ｘが実数だから、D/4=m2-(4m2+2m)=-3m2-2m=-3m(m+2/3)>=0 mは-2/3以上と０以下。
ｍについて整理して、4m2+2(x+1)m+x2=0がmの２次方程式とみたとき、mの実数解条件は
D/4=(x+1)2-4x2=-3x2+2x+1=-(3x2-2x-1)=-(3x+1)(x-1)>=0 xは-1/3以上１以下。
（参考）
ｘでもｍでも２次式だから楕円関係になる。
ｘｍ平面にグラフをかくとｘの変域が-1/3以上１以下となり、
ｍの変域が-2/3以上０以下となるということは楕円を回転した２次曲線と推測できる。
x2+2mx+4m2+2m=0は M=m+1/4、X= x-1/4などとおくと、
X2+2XM+4M2+3/16=0となる。原点を中心に θ回転すると係数がp,q,rになったとすると、
px2+qxy+ry2=sとおける。そこでq=0となれば楕円の一般形になる。
cosθ＝C,sinθ=Sとおくと、X=Cx+Sy, M=-Sx+Cyを代入
q=-6CS+2(C2-S2)=-3sin2θ+2cos2θ=0とすると、sin2θ/cos2θ=2/3=tan2θとなる。
★実数解のあるグラフ
★ｘ^2-4x+k=0の実数解の個数
2.２次不等式の解とグラフ
＜ｘ軸と２点で交わるグラフ＞
２次関数y=f(x)=(x-a)(x-b)で、bがaより大とする。
・２次方程式の場合
f(x)=0はfがx軸と交わるとき。ｘ＝a,bが解（異なる２実数解）
・２次不等式の場合
f<0はfがx軸より下。xはaとbの間の実数が解
f>0はfがx軸より上。xはaより小かbより大が解
（例）「とするとき、f(-1)<0となるaの範囲」は？
f(-1)はaの２次関数になるから、それが負になる範囲を求めればよいね。
から、
。解は、a<-1,5＜a
＜ｘ軸と接するグラフ＞
２次関数y=f(x)=(x-a)2する。
・２次方程式の場合
f(x)=0はfがx軸と交わるとき。ｘ＝a（ただ１つの実数解（重複解））
・２次不等式では、
f<0はfがx軸より下。xはaとaの間で、解なし。
f>0はfがx軸より上。xはaより小かaより大。つまり、ｘはa以外のすべての実数が解
＜ｘ軸からはなれている＞
２次関数を、b>0でf(x)=(x-a)2+bとする。
・２次方程式の場合
f(x)=0はfがx軸と交わるときで、実数解なし。
・２次不等式では、
f<0はfがx軸より下で、解なし。
f>0はfがx軸より上で、ｘはすべての実数が解。
（例）
「がに対して実数解xがあるkの範囲」は？
判別式がｔの２次関数D(t)となりｔの変域に軸があるなら頂点のDを非負にするｋの範囲を求めよう。
解xの判別式D＝
これをtの２次関数としてみると、t＝-1/2が軸になり、tの変域でD(-1/2)=k2+2K-24が最小値になる。
この値が０以上なら、Dはtの変域でつねに０以上となり、実数解ｘがある。
。kの２次不等式とみてkの範囲は−６以下か４以上。
（例）
「 がで成り立つようなaの範囲」は？
f(x)=(x-a)2-a2+a+2の最小値m(a)はaが-2以上１以下なら-a2+a+2=-(a2-a-2)=-(a-2)(a+1)>0ではaは-1と2の間。
だから、aは−１より大で１以下（A）。
a<-2なら、m(a)=f(-2)=4+4a+a+2=5a+6>0、a>-6/5となり範囲外。
a>1ならm(a)=f(1)=1-2a+a+2=3-a>0、a<3となり範囲の中ではaは１と３の間（B)。
AとBをあわせて、aの範囲は−１と３の間。
★変域制限のための変域
★判別式も関数として見てみよう。
３．2次方程式の解と対称性
２次方程式f(x)=ax2+bx+c=0(a≠0)の２つの実数解があるとき、それをα、βとしよう。
２実数解を持つなら、判別式D=b2-4ac＞０
・f(x)=a(x-α)(x-β)と因数分解でき、ｘ軸との交点がA(α,0),B(β,0)となる。
展開してaで係数を割ると、x2-(α+β)x+αβ=x2+(b/a)x+(c/a)となる。
これから、係数比較して、-b/a=α+β, c/a=αβ（解と係数の関係）
解と係数の関係では、１次の係数をマイナスして解の和とするのを忘れやすいので注意しよう。
・また、AB＝|β-α|=|(-b+√D)/(2a)-(-b-√D)/(2a)|=|1/(2a)(2√D)|=√D/|a|
特にa=1ならば、AB=√Dとなる。
・２次関数の軸は２つのABの中点(m,0)を通るからm=(α+β)/2=-b/a・1/2
２次関数の頂点はf(m)=-D/(2a)2
（理由）
解の公式x=（-ｂ±√D)/(2a) を逆にもどしてみよう。x= -b/(2a) ±√D/(2a)
(x+b/(2a))=±√D/(2a) (x+b/(2a))2=D/(4a2) f(x)=(x+b/(2a))2-D/(4a) =0
これから、f(m)=-D/(2a)2
（例）「２次関数y=x2-4x-3がｘ軸を切り取る線分の長さと頂点の座標」は？
D＝(-4)2-4・(-3)=16+12=28。
２解の差AB=√D=2√7。
m=(α+β)/2=-(-4)/2=2。f(m)=f(2)=4-8-3=-7。（または、-28/22=-7）
（例）「連立方程式x2+xy+y2=7, xy+x+y=-5の解」は？
x+y=p, xy=qとすると、x,yは２次方程式t2-pt+q=0の解である。
x2+xy+y2=p2-q=7、p+q=-5。両辺の和は、p2+p-2=(p-1)(p+2)=0。p=1,-2。q=-5-1=-6, q=-5+2=-3
(p,q)=(1,-6)ならt2-t-6=(t-3)(t+2)=0。(x,y)=(3,-2),(-2,3)。
(p,q)=(-2,-3)ならt2+2t-3=(t+3)(t-1)=0。(x,y)=(-3,1),(1,-3)。
（参考）
ｘ、ｙともに２次式でｘｙの項があるので楕円を回転したもの。
また、ｘとｙの単独の２次項はないが、ｘｙの項があり２次だから２次曲線になる。
式変形すると双曲線となるだろう。楕円と双曲線の交点は最大で４個ある。
（例）「ｘ2-2xy+2y2=1を満たす実数ｘ，ｙでｘ＋ｙの範囲」は？
x+y=kとおくと、y=k-xとなり、ｘｙ関係式に代入して陰関数の形にすれば、ｘの２次式の問題。
関数で解くなら頂点と変域から、方程式が実数解をもつ判別式から解けるね。
f(x)=x2-2x(k-x)+2(k-x)2-1=x2-2kx+2x2+2k2-4kx+2x2-1=5x2-6kx+2k2-1=0
D/4=9k2-5(2k2-1)=-k2+5>=0 だから、k2-5=(k+√5)(k-√5)<=0で ｋは-√5以上√5以下。
（参考）
ｘ，ｙともに２次でｘｙ項もあるから楕円を回転したもの。
ｘ＋ｙ＝ｋはｙ切片がｋの直線だ。だから、楕円と共通点があるようにｋを動かせばよいね。