Definição precisa de Limite
Definição formal de limite
Seja uma função definida em algum intervalo aberto que contenha o número , exceto possivelmente no próprio . Então dizemos que o limite de quando tende a é , e escrevemos
se para todo número houver um número tal que
se então .
Observe que é a distância de a e é a distância de a .
A construção a seguir representa essa definição, criando faixas em torno de (de tamanho ) e de (de tamanho ) :
Ao demonstrar afirmações sobre os limites, pode ser proveitoso imaginar a definição de limite como um desafio. Primeiro ela o desafia com um número . Você deve então ser capaz de obter um adequado. Você deve fazer isso para todo , e não somente para um valor particular de .
Imagine uma competição entre duas pessoas, A e B, e suponha que você seja B. A pessoa A estipula que o número fixo deverá ser aproximado por valores de com um grau de precisão (digamos ). O indivíduo B então responde encontrando um número tal que, se , então . Nesse caso, A pode tornar-se mais exigente e desafiar B com um valor menor de (digamos, ). Novamente, B deve responder encontrando um correspondente. Geralmente, quanto menor o valor de , menor deve ser o valor de correspondente. Se B sempre vencer, não importa quão pequeno A torna , então .
Assim, na construção acima escolha primeiramente um valor para e depois ajuste o valor de para que o trecho em vermelho da função fique compreendido totalmente dentro da faixa estipulada pelo . Diminua ao máximo os valores de e o de , dê zoom para verificar que de fato o trecho vermelho fica compreendido entre as faixas (Lembrando que estar da faixa , significa que a distância da função e o número é menor do que ).
Esse processo poderia é infinito, sempre é possível encontrar um valor menor. Mas levando em consideração a limitação do aplicativo não conseguimos escolher valores tão pequenos, então a construção é apenas uma representação da definição.
Texto adaptado de STEWART, James. Cálculo, volume I. Tradução: Antonio Carlos Moretti, 2009.