Die kumulierte Binomialverteilung
Mehr als, weniger als, höchstens, mindestens ...
Eigentlich fragt man eher selten:
Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass bei 20 mal Würfeln genau 6 mal die Eins fällt?
oder
Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass bei einer Stichprobe von 100 Produkten genau 12 defekt sind?
Viel öfter möchte man wissen:
Mit welcher Wahrscheinlichkeit tritt bei 20 mal Würfeln höchstens 6 mal eine Eins auf?
Mit welcher Wahrscheinlichkeit sind von 100 Produkten weniger als 6 Produkte defekt?
Mit welcher Wahrscheinlichkeit sind von 100 Produkten mindestens 98 Produkte fehlerfrei?
Um diese Wahrscheinliochkeiten zu berechnen müsste man viele einzelne Binomialverteilungen addieren:
Mit welcher Wahrscheinlichkeit tritt bei 20 mal Würfeln höchstens 6 mal eine Eins auf?
So etwas schreibt man in der Mathematik lieber mit einem Summenzeichen. Dann würde das so lauten:
Beim Summenzeichen beginnt man mit dem kleinsten , setzt es in die Formel hinter dem Summenzeichen ein, schreibt ein , setzt das nächste ein usw. bisman bei der Zahl auf em Szummenzeichen angekommen ist. Ein anderes Beispiel:
Damit ist die
Kumulierte Binomialverteilung
Verwenden des HP Prime oder Geogebra
Natürlich gibt es auch für die kumulierte Variante der Binomialverteilung fertige Anweisungen in allen Computer-Algebra-Systemen (CAS):
HP-Prime
kumulierte Binomialverteilung: binom_cdf(n,p,k1,k2) [Werkzeugkasten(Math)]-[5(Wahrscheinlichkeit)]-[7(Kumulativ)]-[5(Binom)]
Geogebra
Geogebra handhanbt diesen Befehl etwas anders. Hier gibt es nur eine Anweisung für
kumulierte Binomialverteilung: Binomial(n,p,k,true)
Das logische "true" am Ende des Befehls bedeutet, dass hier summiert werden soll. Wenn dort "false" steht, dann wird nur die einfache Binomialverteilung bei berechnet.
Für muss also folgendes eingegeben werden:
Binomial(n,p,k2,true)-Binomial(n,p,k1-1,true)
Man beachte hier, dass im zweiten Term steht, weil die Wahrscheinlichkeit für die Zahl nicht mit abgezogen werden darf.
Ein Zahlenbeispiel: Mit welcher Wahrscheinlichkeit fällt bei 100 mal Würfeln zwischen 10 und 20 mal die Sechs?
HP-Prime:
binomial_cdf(100,1/6,10,20)
Geogebra:
Binomial(100,1/6,20,true)-Binomial(100,1/6,9,true)