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Rectángulos recortados "algebraicos"

Autor:Javier Cayetano Rodríguez
Es muy habitual el uso del lenguaje algebraico al resolver problemas en Geometría. Imagina que tienes entre manos una figura plana y desconoces alguno de los lados. Si quieres determinar su área o su perímetro, deberás utilizar letras para los lados desconocidos. Entonces el valor de dicha área (o perímetro) dependerá de estas letras. Vamos a ver unos ejemplos:

Opciones

  • Podemos elegir las zonas que recortamos, seleccionando la posición en la parte inferior del applet, y el tamaño moviendo los puntos naranja.
  • Para modificar las dimensiones del rectángulo inicial, podemos mover los puntos marrones o modificar los números "ancho total" y "alto" que aparecen en la zona inferior.

Caso 1

Imagina que cuentas con un rectángulo como el de la figura, al que se le ha recortado una esquina, también con forma de rectángulo.

  1. ¿Cuánto vale el área de la figura resultante?
  2. ¿Cuánto vale el perímetro?
  3. Estas expresiones, ¿dependen de qué esquina elijamos para recortar?
  4. ¿Observas algo interesante? ¿Por qué ocurre esto?
El valor numérico de un polinomio puede calcularse siempre pero, cuando modelamos un problema, puede ocurrir que no todos los valores (en este caso "a" y "b") representen una situación real. ¿Crees que esto ocurre aquí? ¿qué valores de "a" y "b" son aceptables?

Caso 2

Marcamos ahora la opción Recortar... lateral.

  1. Cuáles serán ahora el área y el perímetro?
  2. ¿Depende ahora el perímetro de la figura de las dimensiones del rectángulo recortado? ¿Por qué?
  3. Analiza qué ocurre al elegir un lado diferente para recortar el recuadro. ¿Depende de si recortamos en el lado más largo o en el más corto?

Caso 3

Seleccionamos la opción Recortar... dos zonas y recortamos, por ejemplo, dos esquinas.

  1. ¿Las piezas recortadas pueden tener cualquier dimensión, o aparece alguna restricción extra?
  2. ¿Cuál será ahora el área de la figura resultante? ¿Y el perímetro?
  3. ¿Depende el perímetro de la pieza final de los tamaños de las esquinas recortadas? ¿Por qué? Cambiamos ahora la opción a Recortar... lateral.
  4. Justifica si el perímetro y el área de la figura obtenida es ahora diferente o se mantiene igual que antes. En estas opciones, estamos recortando rectángulos en zonas opuestas.
  5. ¿Cambiaría el resultado si recortásemos sobre el mismo lado?
  6. ¿y las restricciones sobre el tamaño del recorte?
Ampliación: podemos generar situaciones "extrañas". Por ejemplo, que las dos zonas a recortar se solapen. ¿Tendría sentido esa situación? Si la aceptásemos como válida, ¿podríamos calcular el polinomio con los datos que tenemos?

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