Suma de cuadrados constante
La suma de los cuadrados de las distancias de los vértices de un triángulo equilátero a un punto de una circunferencia con centro en el centro triángulo es constante.
Desde los botones O, I, C se muestran tres casos particulares interesantes, radio=0, circunferencia Inscrita y Circunscrita respectivamente.
En estos tres casos particulares, el valor de la constante se expresa de forma sencilla en función del lado del triángulo:
- r=0 (Botón O) ---> La suma S de los cuadrados de los segmentos es a2.
- r= radio círculo inscrito (Botón I) ---> S=a2+(a/2)2= 5/4 a2.
- r= radio círculo circunscrito (Botón C) ---> S = 2 a2 .
A partir de estos tres valores se ha obtenido la parábola que permite obtener la solución general.
Este vídeo de Juan Francisco muestra un caso particular interesante (círculo inscrito).
Una demostración de otro caso particular puede consultarse en esta página de Ricardo Barroso.
El resultado puede generalizarse con facilidad a polígonos regulares y también extenderse al espacio como se mostrará en próximas construcciones.