Диана Кубарская. Урок 17
Задача 1
АВСD - квадрат. Отрезок MD перпендикулярен плоскости АВС. Докажите, что МВ перпендикулярен АС.
Решение
Дано, что отрезок MD перпендикулярен плоскости ABC. Если отрезок MD перпендикулярен плоскости ABC, то он перпендикулярен любой прямой этой плоскости. Отрезок AC лежит в плоскости ABC, а значит MD перпендикулярен отрезку AC.
Отрезок DE принадлежит плоскости MDB и перпендикулярен отрезку AC. ( отрезки AC и BD являются диагоналями квадрата ABCD. Диагонали квадрата пересекаются под углом в 90 градусов)
И так как отрезки MD и DE лежат в плоскости MDB и перпендикулярны отрезку AC, то и любая прямая/отрезок этой плоскости будет перпендикулярен отрезку AC. Следственно отрезок MB перпендикулярен отрезку AC.
Задача 2
АВСD - прямоугольник. Отрезок АЕ перпендикулярен плоскости АВС. ЕВ=15, ЕС=24, ЕD=20. Доказать, что треугольник EDC прямоугольный и найти АЕ.
Решение
Отрезки DC и AD лежат в плоскости ABC.
Так как отрезок AE перпендикулярен плоскости ABC, то он перпендикулярен и любой прямой в этой плоскости, соответственно отрезок AE перпендикулярен отрезку DC.
В прямоугольнике пересекающиеся стороны перпендикулярны друг другу, соответственно отрезки DC и AD перпендикулярны.
Отрезки AE и AD лежат в плоскости EAD и перпендикулярны отрезку DC. Если две прямые лежащие в одной плоскости перпендикулярны другой прямой, то любые прямые той плоскости будут перпендикулярны этой прямой. Так как отрезок ED лежит в плоскости EAD, два отрезка которой перпендикулярны отрезку DC, то отрезок ED тоже перпендикулярен отрезку DC. Оба этих отрезка являются сторонами треугольника EDC, соответственно треугольник является прямоугольным.
По теореме Пифагора:
CD=AB
По теореме Пифагора:
Ответ: AE=7
Задача 3
DABC - тетраэдр, ребро DB перпендикуляро плоскости АВС, угол АСВ равен 90 градусов, ВС=BD, точка F - середина AD. Постройте сечение тетраэдра плоскостью, проходящей через точку F и перпендикулярной CD.