Objem kosého jehlanu
Jehlany rozdělujeme na kolmé a kosé. Pokud je spojnice vrcholu a těžiště podstavy kolmá k rovině podstavy, je jehlan kolmý, pokud tomu tak není, nazýváme jej kosým jehlanem.
Výpočet objemu kosého jehlanu převedem díky Cavalieriho principu na objem pravoúhlého jahlanu (předchozí kapitola).
Objem jehlanu je roven jedné třetině součinu obsahu podstavy a velikosti výšky.
Mějte však na paměti, že výškou rozumíme vzdálenost vrcholu od roviny podstavy, ne spojnici vrcholu s těžištěm podstavy.
Posuň půdorys vrcholu V1 tak, aby byl jehlan kolmý. Povšimněte si, že vypočítaný objem jehlanu (vlevo dole) je nezávislý na poloze půdorysu V1 .
Poznatek, že objem pyramidy závisí pouze na obsahu podstavy a na výšce, mohl být zformulován až ve starověkém Egyptě. Egypťané měli s pyramidami mnoho zkušeností a dobře věděli, že množství stavebního materiálu se nezmění, budou-li se po sobě jednotlivé stupně pyramidy posouvat.
1. Otázka
Z krychle ABCDEFGH o objemu 1m3 je vytesán pravoúhlý jehlan ABCDE. Určete jeho objem.
Něco se vám na číslu 333333 nezdá?
Cavalieriho princip
Posunem paty výšky jehlanu změní jehlan tvar, ale ne objem. Řez rovinou rovnoběžnou s podstavou je čtverec, jehož obsah je rovněž nezávislý na poloze paty výšky.
Ukázali jsme, že všechny jehlany se shodnou podstavou a výškou mají stejný objem. To dobře věděl již atomista Démokritos z Abdér (460-370) který jako první vyjádřil vztah pro objemu jehlanu. Stejné úvahy vedly i Archiméda (287-215) při odvození vztahu mezi objemy koule, válce a kužele. O téměř 1000 let později italský matematik Bonaventura Cavalieri (1598 – 1647) znovuobjevil myšlenky Démokrita a Aristotela a zformuloval tzv. Cavalieriho princip, který používáme pro odvození vzorců na výpočet objemu kosých kvádrů, válců, jehlanů, ale i pro výpočet objemu koule - viz animace.