Funzioni esponenziali - le basi
Definizione ed equazione
Una funzione esponenziale è una funzione nella forma
in cui il termine si chiama base, con e , ed si chiama esponente, e può assumere qualsiasi valore reale.
Perchè ci sono delle restrizioni sulla base b?
La base deve essere:
- positiva: affinché il dominio della funzione sia . Infatti, se ad esempio avessimo , allora , ma questa operazione non è possibile nell'insieme dei numeri reali.
- non 0 e non 1: per questi valori di , la funzione esponenziale degenera in una retta orizzontale, rispettivamente e .
Esploriamo il grafico di una funzione esponenziale
L'applet che segue ti consente di interagire con il grafico di una funzione esponenziale.
- Utilizza lo slider che definisce il valore della base per confrontare la forma del grafico quando o .
- Seleziona Tabella per aprire la tabella di valori relativa alla funzione visualizzata: tre di questi valori sono predefiniti, ed in particolare (il valore inverso della base), (l'intersezione con l'asse y) ed (il valore della base). Questi sono i tre punti fondamentali che dovresti sempre utilizzare per tracciare il grafico di una funzione esponenziale. Trascina il punto sull'asse x per scegliere un altro punto in cui valutare il valore assunto dalla funzione. (Tutti i valori in tabella sono approssimati a 2 cifre decimali).
- Seleziona Monotonia per visualizzare ed esplorare le definizioni di funzione crescente o decrescente applicate al grafico corrente, trascinando i punti sull'asse x.
- Seleziona Mostra per visualizzare il grafico della funzione esponenziale con base , che è una costante matematica: un numero decimale illimitato che ha una notevole importanza in molte applicazioni della matematica.
Caratteristiche principali delle funzioni esponenziali
Data una funzione esponenziale , con e :
- il dominio della funzione è
- l'insieme immagine della funzione è
- l'intersezione del grafico con l'asse y è sempre 1
- la funzione ha asintoto orizzontale
- la funzione è crescente se , e decrescente se