Schritt 5: Bestimmung der Ableitung an jeder Stelle x
Ableitung allgemein
Die Ableitung einer Funktion an einer Stelle x ist die Steigung der Tangente an dieser Stelle x.
Wie du gesehen hast, ist es sehr mühsam, sich diesem Wert langsam aus den Sekantensteigungen anzunähern.
Wir versuchen deswegen, uns für eine gegebene Funktion die Ableitung an einer Stelle x ganz allgemein zu überlegen. Wie in Schritt 4 betrachten wir die Funktion . Wir haben vermutet, dass die Ableitung an einer beliebigen Stelle 2x ist: .
Um das zu begründen, betrachten wir ganz allgemein den Differentialquotient an der Stelle x. Vereinfacht man ihn, erhält man die Ableitung ganz einfach als .
Wie das? Das zeigt die folgende Umformung.
Aufgabe:
Bringe dazu die Umformungsschritte in die richtige Reihenfolge.
Notiere die komplette Herleitung anschließend in deinem Heft.
Bestimmung der Ableitung an der Stelle x
*Aufgabe
Bestimme auf ähnliche Art die Ableitung von .
Kontrolle
Was ist die Ableitung von ?