Egy térkitöltő poliéder
Az alábbi applet egy 11 lapú és 11 csúcsú poliédert ábrázol.
A csúcsok koordinátáinak az ismeretében mutassuk meg, hogy ennek a poliédernek az egybevágó példányaival hézagmentesen kitölthető a tér!
Van másik...
Ennek a poliédernek van egy másik - nyújtott - változata is, amely ugyancsak térkitöltő tulajdonságú.
Numerikus adatok
A két változat csak a csúcsok koordinátáit tartalmazó V és NV listában tér el egymástól a kombinatorikus szerkezetüket meghatározó F és E lista elemei a csúcsok sorszámainak az egy egy lapot ill.élt meghatározó csúcsok sorszámaiból álló listák.
V:={
( 0, -2, 0 ),
( 2, -1, 1 ),
( 0, -1, -1 ),
(-2, -1, 1 ),
( 0, 0, 2 ),
( 1, 0, -1 ),
(-1, 0, -1 ),
( 2, 1, 1 ),
( 0, 1, -1 ),
(-2, 1, 1 ),
( 0, 2, 0 )
}
NV={
(52/7, 12sqrt(3)/7, 4),
( 8, 4sqrt(3), 2),
( 9, sqrt(3), 2),
( 0, 0, 2),
( 4, 4sqrt(3), 0),
(10, 2sqrt(3), 0),
( 8, 0, 0),
( 8, 4sqrt(3), -2),
( 9, sqrt(3), -2),
( 0, 0, -2)
(52/7, 12sqrt(3)/7, -4)
F:={
{ 1, 3, 6, 2},
{ 1, 4, 7, 3},
{ 1, 4, 5, 2},
{11, 10, 5, 8},
{ 9, 6, 3, 7},
{ 7, 10, 11, 9},
{ 8, 6, 9, 11},
{ 4, 10, 7},
{ 2, 8, 5},
{ 8, 2, 6},
{ 4, 5,10}
}
E:={ { 1, 3 }, { 3, 6 }, { 6, 2 }, { 2, 1 }, { 1, 4 }, { 4, 7 }, { 7, 3 }, { 4, 10 }, { 10, 7 }, { 4, 5 },
{ 5, 2 }, { 2, 8 }, { 8, 5 }, { 11, 10 }, { 10, 5 }, { 8, 11 }, { 9, 6 }, { 7, 9 }, { 11, 9 }, { 6, 8 } }
Megjegyezzük hogy e poliéderek konstrukcióját és a csúcsok numerikus adatait az alábbi cikk alapján adtuk meg - majdnem.
Ugyanis az 1. és a 11. csúcs első két koordinátája a cikk szerint 9-sqrt(3) és 1+sqrt(3), miközben a helyes érték 52/7, ill. 12sqrt(3)/7.
Inchbald - Five space-filling polyhedra
Valóban térkitöltő?
A kérdés megválaszolásához az alakzatok alapos elemzésére lenne szükség. Ehelyett az alábbi appletben megmutatjuk, hogy az eredeti alakzatból miként lehet előállítani a poliédernek azokat a példányait, amelyek egy lapban, vagy egy élben szomszédosak az eredetivel.
Az alábbi appletben az egymással egyirányú poliédereket azonos színnel jelöltük.
A nyújtott hendekaéder lapszögei között van egy 60°-os és egy 120°-os.
Ezek tették jóval áttekinthetőbbé a térkitöltés demonstrálását.