Первый признак равенства трегольников

Отметим какие-нибудь три точки, не лежащие на одной прямой, и соединим их отрезками (см. рис.). Получим геометрическую фигуру, которая называется треугольником. Отмеченные три точки называются вершинами, а отрезки — сторонами треугольника. На рисунке изображен треугольник с вершинами и сторонами и . Такой треугольник будем обозначать так: (читается: «треугольник АВС»). Этот же треугольник можно обозначить иначе, записав буквы А, В, С в другом порядке: , и т. д.

Три угла— , и — называются углами треугольника АВС. Часто их обозначают одной буквой: , , . Сумма длин трех сторон треугольника называется его периметром. Напомним, что две фигуры, в частности два треугольника, называются равными, если их можно совместить наложением. На рисунке изображены равные треугольники и . Каждый из этих треугольников можно наложить на другой так, что они полностью совместятся, т.е. попарно совместятся их вершины и стороны. Ясно, что при этом совместятся попарно и углы этих треугольников.

Таким образом, если два треугольника равны, то элементы (т.е. стороны и углы) одного треугольника соответственно равны элементам другого треугольника. Отметим, что в равных треугольниках против соответственно равных сторон (т.е. совмещающихся при наложении) лежат равные углы, и обратно: против соответственно равных углов лежат равные стороны. Так, например, в равных треугольниках и , изображенных на предыдущем рисунке, против соответственно равных сторон и лежат равные углы и . Равенство треугольников и обозначается так: . Оказывается, что равенство двух треугольников можно установить, не накладывая один треугольник на другой, а сравнивая только некоторые их элементы. Как это сделать, мы обсудим в следующих пунктах. Такая возможность — установить равенство двух фигур, не производя наложения одной на другую, а измеряя и сравнивая лишь некоторые элементы этих фигур, важна для практики, например для сравнения двух земельных участков, которые, конечно, нельзя наложить друг на друга.

В математике каждое утверждение, справедливость которого устанавливается путем рассуждений, называется теоремой, а сами рассуждения называются доказательством теоремы. Фактически мы уже имели дело с теоремами и их доказательствами. Так, утверждение о равенстве вертикальных углов является теоремой, а рассуждения, которые мы провели, чтобы установить равенство вертикальных углов, и есть доказательство этой теоремы. В этом параграфе мы докажем одну из теорем о равенстве треугольников.

Теорема

Если две стороны и угол между ними одного треугольника соответственно равны двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны.

Данная теорема выражает признак (равенство у треугольников двух сторон и угла между ними), по которому можно сделать вывод о равенстве треугольников. Он называется первым признаком равенства треугольников.

87. Начертите треугольник и обозначьте его вершины буквами , и . а) Назовите все углы и стороны треугольника; б) с помощью масштабной линейки измерьте стороны и найдите периметр треугольника. 88. Начертите треугольник так, чтобы угол был прямым. Назовите: а) стороны, лежащие против углов , , ; 6) углы, лежащие против сторон , , ; в) углы, прилежащие к сторонам , , ; 89. С помощью транспортира и масштабной линейки начертите треугольник , в котором: а) см, см, ; б) см, см, ; в) см, см, .

90. Сторона треугольника равна 17 см, сторона вдвое больше стороны , а сторона на 10 см меньше стороны . Найдите периметр треугольника . 91. Периметр треугольника равен 48 см, а одна из сторон равна 18 см. Найдите две другие стороны, если их разность равна 4,6 см. 92. Периметр одного треугольника больше периметра другого. Могут ли быть равными эти треугольники? 93. Отрезки и пересекаются в точке , являющейся серединой каждого из них. а) Докажите, что треугольники и равны; б) найдите углы и треугольника , если в треугольнике , . 94. На рисунке , . а) Докажите, что треугольники и равны; б) найдите и , если см, см.

97. Отрезки и точкой пересечения делятся пополам. Докажите, что . 98. В треугольниках и , , . На сторонах и отмечены точки и , так, что . Докажите, что . 99. На сторонах угла отмечены точки и так, что точка лежит на отрезке , а точка — на отрезке , причем и . Докажите, что .