Fundamentalsatz der Algebra - Beweisidee
Der Fundamentalsatz der Algebra wurde von Carl-Friedrich Gauss im Jahr 1799 erstmal bewiesen. Der Satz besagt folgendes:
Gegeben ist ein Polynom vom Grad mit komplexen Koeffizienten und mit . Das Polynom besitzt dann mindestens eine Nullstelle bzw. besitzt genau Nullstellen, wenn man die Vielfachheiten der Nullstellen berücksichtigt, d. h. es gibt mindestens eine Stelle mit .
Der Satz ist ein reiner Existenzsatz! Es ist kein Berechnungssatz! Dass dieser Satz wichtig ist, sieht man vielleicht daran, dass Gauss allein vier verschiedene Beweise formuliert hat.
Was muss man vorher wissen, um den Satz beweisen zu können? Jede komplexe Zahl mit in lässt sich in Polarkoordinaten mit einem Radius und einem Winkel formulieren. Dazu muss man lediglich den Satz von Pythagoras und den Steigungswinkel der Ursprungsgeraden durch den Punkt bestimmen.
Es gibt natürlich sehr viele verschiedene Beweise!
Berechne das Produkt der komplexen Zahlen und . Verwende, dass ist.
Wandle im Anschluss die komplexen Zahlen in Polarkoordinaten um.
Mithilfe der Additionstheoreme für Sinus und Kosinus kann man beweisen, dass das Produkt zweier komplexer Zahlen in Polarkoordinatenform sich aus dem Produkt der Radien und der Summe der Winkel ergibt. Dieses soll jetzt hier nicht passieren. Das sehen wir oben an dem Applet.
Nun zum Beweis.
Betrachten wir ein Polynom vom Grad und eine komplexe Zahl . Setzt man die komplexe Zahl in das Polynom ein, so wird diese mit n potenziert. Der Radius vergrößert sich, wenn ist. Setzt man die Zahl in das Polynom ein, so erhält man das absolute Glied . Das Bild liefert wieder eine komplexe Zahl . In einem Koordinatensystem kann man aber das Ganze nicht darstellen, denn es müsste 4-dimensional sein (zweidimensional für und zweidimensional für ).
Um den Fundamentalsatz zu beweisen, kann man folgendermaßen vorgehen. Wähle eine beliebige komplexe Zahl mit einem Radius . Das Bild hat dann einen noch größeren Radius und bildet einen Kreis bzw. eine geschlossene Kurve um .
Was passiert nun, wenn man den Radius der komplexen Zahl verringert? Wie ändert sich der Radius des Bildes? Verändere den Radius r am Schieberegler, um den Radius um 0 von zu verringern bzw. zu vergrößern.
Wenn die komplexe Zahl einmal um den Kreis um läuft, wie oft läuft dann das Bild um den Kreis um bei einem Polynom vom Grad ?
Der Kreis auf dem das Bild verläuft, wird immer kleiner, wenn der Radius von kleiner wird. Irgendwann muss der Kreis des Bildes den Ursprung des Bildkoordinatensystems passieren. Warum? Wie oft?
Gib einen anderen Funktionsterm z. B. ein. Ermittle die Nullstellen von . Lies den Radius und den Winkel der Nullstellen ab.