9.1 Introducción
Jorgen Pedersen Gram (1850-1916) Dinamarca. Erhard Schmidt (1876-1959) Berlín
Dos vectores son ortogonales cuando su producto escalar es cero: . Este capítulo se mueve a subespacios ortogonales, bases ortogonales y matrices ortogonales.Una base es un conjunto de vectores independientes que genera un espacio. Geométricamente, es un conjunto de ejes coordenados. Un espacio vectorial se define sin estos ejes, aunque cada vez que se piensa en el plano x-y, en el espacio tridimensional o en Rn, ahí están los ejes. ¡Suelen ser perpendiculares! Los ejes coordenados producto de la imaginación prácticamente siempre son ortogonales. Al elegir una base, se tiende a una ortogonal. Los subespacios ingresaron en el capítulo anterior para arrojar luz sobre . De inmediato usamos el espacio columna y el espacio nulo. Luego la luz alumbro la matriz traspuesta , descubriendo otros dos subespacios Esos cuatro subespacios fundamentales revelan lo que realmente hace una matriz.Una matriz multiplica un vector: A por x. En el primer nivel esto son solo números. En un segundo nivel es una combinación de vectores columna. En un tercer nivel estos vectores construyen subespacios. Pero no se ha visto la imagen completa hasta que mire con detenimiento la siguiente figura
Uno de los fundamentos del álgebra lineal es el concepto de base ortogonal. Se requiere una base para convertir construcciones geométricas en cálculos algebraicos, y se necesita una base ortogonal para que estos cálculos sean sencillos. Hilando más delgado los vectores deben tener longitud 1, para tener una base ortonormal (vectores unitarios ortogonales) se encuentra que:
l. la longitud I|xll de un vector; 2. la prueba x.y= O para vectores perpendiculares; y 3. cómo crear vectores ortogonales a partir de vectores linealmente independientes. Más que vectores perpendicualres , tenemos subespacios que también pueden ser perpendiculares. Se descubrirá, de manera tan hermosa y simple que será una delicia ver, que los subespacios fundamentales se encuentran a ángulos rectos. Estos cuatro subespacios fundamentales son perpendiculares por pares, dos en y dos en . Esto completará el teorema fundamental del álgebra lineal. El primer paso es encontrar la longitud de un vector, que se denota por llxll, y en dos dimensiones proviene de la hipotenusa de un triángulo rectángulo (véase la figura). El cuadrado de la longitud fue proporcionado hace mucho tiempo por Pitágoras: En el espacio tridimensional, es la diagonal de una caja (véase la figura ). Su longitud proviene de dos aplicaciones de la fórmula de Pitágoras. El caso bidimensional se ocupa de a través de una base. Esto forma un ángulo recto con el lado vertical . La hipotenusa del triángulo (nuevamente Pitágoras) es la longitud llxll que se busca: