Zufallsvariablen
Zufallsvariablen
Eine Zufallsvariable ist eine beliebige Größe, die vom Zufall abhängig ist. Das kann der Geldgewinn bei einem Glücksspiel sein, das kann die Länge eines ausgefallenen Haares sein oder die Anzahl wie viel 6-en fallen, wenn Sie 10 mal Würfeln.
Wenn man eine Zufallsvariable betrachtet, dann erstellt man sich in der Regel eine Wahrscheinlichkeitsverteilung.
Beispiel: "Klein gewinnt"
Bei dem Glücksspiel Klein gewinnt bekommen Sie beim Würfeln einer 1 einen Gewinn von 2€ (also Ihren Einsatz zurück plus zwei Euro), beim Würfeln einer 2 gewinnen Sie 0,5€, bei einer 3 oder einer 4 bekommen Sie Ihren Einsatz zurück und in allen anderen Fällen zahlen Sie 1€ an die Bank.
Daraus lässt sich folgende Wahrscheinlichkeitsverteilung erstellen:
Erwartungswert einer Zufallsvariablen
Wenn man wissen möchte, ob sich ein Glücksspiel lohnt, wenn man es nur lange genug spielt, dann berechnet man den Erwartungswert. Wie viel erwarte ich auf Dauer zu gewinnen?
Nennen wir unsere Zufallsvariable , dann gibt es die einzelnen Ergebnisse: , , ...
Dann lautet die Formel zum Berechnen des Erwartungswertes
Diese Größe hat eine große Ähnlichkeit zum arithmetischen Mittel aus der Statistik. Oft wird auch das Summenzeichen für diese Formel verwendet. Für verschiedene Zufallsvariablen gilt dann:
Der Erwartungswert des oben genannten Glücksspiels ist:
Dieses Glücksspiel sollten Sie spielen, wenn Sie Geld verdienen wollen. Sie sollten dabei im Schnitt ca. also verdienen.
Bei einem fairen Spiel ist der Erwartungswert . Das heißt die Bank gewinnt mit der gleichen Wahrscheinlichkeit wie die Spieler:innen.
Machen Sie das Spiel fair (1. Methode)
Wenn Sie einen anderen Einsatz wählen, dann kann das Spiel fair werden. Bestimmen Sie den Einsatz, bei dem das Spiel fair ist.
Machen Sie das Spiel fair (2. Methode)
Es ist praktischer für ein Spiel, wenn eine runde Summe als Einsatz gezahlt wird. Der Einsatz soll also bei bleiben. Auf wie viel Euro müssen Sie den Hauptgewinn beim Würfeln einer 1 verändern, wenn Sie ein faire Spiel haben wollen?
Standardabweichung einer Zufallsgröße
Wie in der Statistik, kann man hier von der Standardabweichung ablesen, ob der durchschnittliche Gewinn stark vom Mittelwert abweicht oder nicht. Die Gleichung für die Standardabweichung ist:
oder mit Summenzeichen:
Für das obenstehende (nicht faire) Beispiel mit dem Erwartungswert von ist die Standardabweichung:
Das heißt, wenn Sie dieses Spiel spielen, dann gewinnen Sie pro Spiel, plus minus .
Die Standardabweichung ist also so etwas, wie die mittlere Abweichung vom Erwartungswert.
Wenn Sie die Standardabweichung der beiden fairen Spielvarianten aus den oben stehenden Aufgaben berechnen, dann werden Sie feststellen, dass die Standardabweichung bei einem höherem Gewinn aber auch einem höheren Einsatz größer ist, als bei der zweiten Variante. Probieren Sie es aus.
Obwohl beide Spiele fair sind, und daher einen Erwartungswert von haben, ist Ihr Glück bei der ersten Variante stärkeren Schwankungen ausgesetzt, denn Sie haben hier mehr zu gewinnen, aber auch mehr zu verlieren.