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TP - Aire d'un jardin

Une entreprise paysagiste doit créer un espace « jardin et terrasse » sur un terrain ABDC de forme carrée de côté 8 m. Le projet présenté aux clients, modifiable à souhait, est schématisé ci-contre. La partie jardin est hachurée (carré et triangle ayant un sommet commun). La terrasse occupe le reste du terrain. Le point M peut occuper n'importe quelle position sur le segment [AB]. Le client souhaite que l'aire du jardin soit minimale. Le but du problème est de déterminer comment placer le point M pour que l'aire du jardin soit minimale.

1) a) Déplacer le point M pour conjecturer la position de M pour laquelle l'aire est minimale

b) Conjecturer la position du point M pour laquelle l'aire est minimale.

2) On note x la longueur AM.

a) Dans quel intervalle la variable x prend-t-elle ses valeurs ?

b) Exprimer en fonction de x : - l'aire du carré AMFE ; - l'aire du triangle CFD ; - l'aire totale du jardin que l'on notera f(x).

c) Faire tracer la représentation graphique de la fonction f pour conjecturer la valeur de AM = x pour laquelle l'aire est minimale :

d) Utiliser la figure pour conjecturer les variations de la fonction f :

3) Montrer que f(x) = (x - 2)² + 28 et démontrer la conjecture faite à la question 1