sin, cos, tan beim rechtwinkligen Dreieck erforschen
Vorwissen: Ähnlichkeit von Dreiecken
Zwei Dreiecke sind zueinander ähnlich, wenn sie
- in allen drei Winkeln übereinstimmen
- in allen einander entsprechenden Seitenverhältnissen übereinstimmen.
Forschungsauftrag
Untersuche mithilfe einer GeoGebra-Animation, wann zwei rechtwinklige Dreiecke ähnlich sind.
Konstruiere dafür zunächst rechtwinklige Dreiecke mit dem GeoGebra-Konstruktionstool, führe anschließend Messungen von Winkelgrößen und Seitenlängen durch, berechne Seitenverhältnisse und werte deine Messungen und Beobachtungen aus.
Konstruktion des Dreiecks
- Setze in dem Konstruktionstool unten auf der horizontalen Achse einen Punkt B und auf der vertikalen Achse einen Punkt A. Die Punkte müssen ggf. entsprechend umbenannt werden (Rechtsklick auf Punkt).
- Verbinde die Punkte A, B und C mithilfe des "Vieleck"-Werkzeugs (
) zu einem Dreieck. - Aktiviere die Beschriftung der drei Dreiecksseiten (Rechtsklick auf jeweilige Seite). Gegebenenfalls musst du die Seiten entsprechend der Benennungskonvention für Dreiecke umbenennen.
- In der Werkzeugleiste findest du ein Werkzeug (
), mit dem du Seitenlängen, nachdem du auf die entsprechende Seite geklickt hast, anzeigen lassen kannst. Verwende dieses Werkzeug. - In der Werkzeugleiste findest du ein Werkzeug, mit dem du dir Winkelgrößen anzeigen lassen kannst:
. Klicke dieses Werkzeug an und anschließend in die Mitte des Dreiecks. In der Folge werden dir die Winkelgrößen für α, β und γ angezeigt.
Konstruktionstool
Messung: Untersuchungen am rechtwinkligen Dreieck
- Wähle im Konstruktionstool oben die Position von Punkt B so, dass die Seite a eine Länge von 6 cm hat.
- Variiere durch Verschieben des Punktes A entlang der Vertikalen die Länge der Seite b in 0,5 cm-Abständen im Intervall [1 cm; 4 cm].
- Dokumentiere in der Messtabelle unten die jeweiligen Längen der Seite c sowie die Winkelgrößen für α und β.
- Berechne die Seitenverhältnisse , und und dokumentiere die Werte in der Tabelle unten.
- Führe die Messungen und Berechnungen analog für die Fälle und durch.
Messwerte
Aufgaben
Aufgabe 1
Welche Dreiecke sind zu dem Dreieck mit der Nr. 5 ähnlich? Wähle die entsprechenden Nummern aus.
Aufgabe 2
Das Dreieck mit welcher Nummer ist zu dem Dreieck Nr. 14 ähnlich? (Gib nur die Nummer ein!)
Aufgabe 3
Welche der folgenden Aussagen ist wahr?
Aufgabe 4
Dein Taschenrechner besitzt die Tasten "sin", "cos" und "tan". Mithilfe dieser Tasten und einem spitzen Winkel des Dreiecks lassen sich die Werte der Messwerttabelle von oben berechnen.
Probiere dies für die ersten drei Dreiecke aus. Dokumentiere deine Ergebnisse in folgende Tabelle. Markiere einander entsprechende Werte in verschiedenen Spalten mit derselben Farbe (Färbe die entsprechenden Tabellenspalten ein!).
Zusammenfassung (bitte in die Unterlagen übertragen)
Das rechtwinklige Dreieck mit besitzt die Katheten und sowie die Hypotenuse .
Ob eine Kathete an einem Winkel anliegt oder dem Winkel gegenüber liegt, entscheidet darüber, ob es zu dem betrachteten Winkel die Ankathete (anliegend) oder Gegenkathete (gegenüberliegend) ist.
Es gilt im rechtwinkligen Dreieck:
sowie
.
Außerdem gilt:
Es gilt im rechtwinkligen Dreieck:
sowie
.
Außerdem gilt:
Aufgabe 5
Welche Zusammenhänge gelten im rechtwinkligen Dreieck mit für den Winkel ? Wähle aus. Ergänze die (zwei) korrekten Lösungen in die von oben in dein Heft abgeschriebene Zusammenfassung.
Aufgabe 6
Bestimme mithilfe der sin- und cos-Tasten deines Taschenrechners die Kathetenlängen und des folgenden Dreiecks. Überprüfe deine berechneten Werte, indem du das Dreieck mithilfe des Konstruktionstools von oben konstruierst.
