Was sind Elastizitäten?
Relative Änderungen
Bisher haben wir Änderungsraten einer Funktion mit ihrer ersten Ableitung berechnet. Dabei kam eine absolute Zahl heraus. Bei einer Kostenfunktion könnte zum Beispiel die Änderung an einer Stelle die Änderungsrate mit berechnet werden. Heraus kommt eine Zahl wie zum Beispiel .
Oft interessiert aber gar nicht die absolute Änderung einer Größe, sondern oft ist eine relative Änderung, zum Beispiel in Prozent, viel aussagekräftiger. Wenn ein Produkt um 10€ teurer wird, dann spielt es schon eine Rolle, ob es vorher 5€ oder 500€ gekostet hat. Im letzteren Fall würde man den Preisanstieg als nicht besonders hoch empfinden, während eine Steigerung von 5€ auf 15€ eine Verdreifachung des alten Preises wäre.
Trifft aber die Aussage zu, etwas ist um zum Beispiel um 50% teurer geworden, dann ist leicht zu beurteilen, dass der Preisanstieg hoch ist.
Was ist Elastizität?
Mit Elastizitäten kann man berechnen, um wie viel Prozent sich eine abhängige Größe - zum Beispiel die Kosten - ändert, wenn eine andere Größe - wie die Produktionsmenge - um einen bestimmten Prozentsatz verändert wird:
Wenn die Elastizität hoch ist, dann reicht also eine kleine Veränderung einer "Stellschraube" um Großes zu bewirken. Wenn man viel verändern muss und die Wirkung nur sehr klein ist, dann ist die Situation "unelastisch".
Relative Änderungen mathematisch
Eine absolute Änderung wird in der Mathematik mit dem griechischen Buchstaben gekennzeichnet. Eine absolute Änderung der Ausbringungsmenge bekommt dann den Namen . Wenn man eine Größe nur ein kleines Bisschen ändert verwenden Mathematiker auch gerne ein Differential: Eine kleine Änderung wird dann als bezeichnet und eine kleine Änderung im Preis als . In der Technik und in der Physik schreibt man daher Ableitungsfunktionen einer Funktion als . Damit ist angedeutet, dass es sich bei der Ableitung um ein winzig kleines Steigungsdreieck handelt ( ist dann die Höhe des Dreieckes und die Breite, siehe hier).
Eine relative Änderung setzt die absolute Änderung ins Verhältnis zum aktuellen Wert: Die relative Änderung der Warenmenge ist oder , die relative Änderung des Preises ist oder und die relative Änderung einer beliebigen Größe ist dann oder .
Die Elastizität e(x) als Funktion
Gegeben ist eine verursachende Größe (zum Beispiel die Warenmenge) und eine darauf reagierende Größe (zum Beispiel Kosten), dann ist die Elastizität definiert, als der Bruch:
wird auch als Elastizitätskoeffizient bezeichnet.
Bei Elastizitäten interessiert nur der Betrag der Funktion e(x)
In den folgenden Kapiteln ist beschrieben, wie man die Elastizität der Nachfrage, des Angebotes und die Elastizität der Kosten berechnet. Aber alle Elastizitäten haben das gleiche Prinzip:
- Es gibt eine verursachende Größe (zum Beispiel Warenmenge)
- Es gibt eine auf diese Ursache reagierende Größe (zum Beispiel die Kosten)
- Die Elastizität beschreibt immer den Bruch
- Wenn eine prozentuale Änderung der Ursache zu einer größeren prozentualen Wirkung führt, dann ist und dann ist die Situation elastisch. Also mit wenig Aufwand viel verändern.
- Wenn eine prozentuale Änderung der Ursache zu einer kleineren prozentualen Wirkung führt, dann ist und dann ist die Situation unelastisch. Also mit viel Aufwand nur wenig verändern.
- Wenn eine prozentuale Änderung der Ursache zu einer gleichen prozentualen Wirkung führt, dann ist und dann ist die Situation proportional elastisch. In eingen Fällen wird eine proportional elastische Situation auch als fließend bezeichnet. Z.B. "die Nachfrage reagiert fließend" (u.a. Abitur 2024). Laut Wikipedia wird auch manchmal der Begriff "einheitselastisch" verwendet.