Teorema de Bolzano

Auteur :Javier de León Morales

El teorema de Bolzano nos expresa que dado un segmento [a,b] de una función determinada con f(a) y f(b) de distinto signo, entonces la función habrá pasado por el eje OX al menos una vez, es decir, existirá un c que pertenece al segmento [a,b] tal que f(c) = 0. En este applet se proponen varios ejemplos de funciones continuas y derivables en todo el intervalo [a,b], dónde se puede observar la aplicación de dicho teorema y la veracidad de éste.

¿Existirá algún punto de los números reales para los que la función y = 3^x sea 0? Si es así, ¿Cuál será ese punto? Si no es así, explica el porqué (relacionar con el teorema de Bolzano).

¿Existirá algún número real c en la parábola y = f(x) = x^2-3x+1 tal que f(c) = 0, siendo c distinto a (3-5^(1/2))/2? Pista: Tener en cuenta el teorema de Bolzano para resolverlo.

Supongamos que se amplia el intervalo de la función y = sen(x^3+2x), siendo ahora [0,3]. ¿Cuántas veces pasaría la función por el eje OX? ¿El mismo número, es decir, una sola vez? ¿Dos veces? ¿Tres, cuatro, cinco,....diez veces? Verifica tu respuesta de manera geométrica con la función f_1(x) y razona por qué sucede esto.

¿Por qué en la recta y = x - 2 existe un único punto que corta el eje OX?

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