2023 - Sess. Straord. - P1(b)
Si assuma .
- Studiare la funzione e tracciare un suo grafico rappresentativo, dimostrando che ammette un unico zero di segno negativo.
- Discutere, al variare del parametro il numero e il segno delle soluzioni dell'equazione .
SOLUZIONE
Il grafico è rappresentato di seguito.
Sostituendo nelle espressioni delle derivate calcolate qui otteniamo che la funzione ha:
- un punto di massimo relativo in
- un punto di minimo relativo in
- un punto di flesso in e uno in
Consideriamo l'intervallo in cui la funzione è continua.
Allora, per il Teorema dell'Esistenza degli Zeri, esiste almeno un punto , interno all'intervallo, in cui la funzione si annulla.
Poiché la funzione è decrescente nell'intervallo, il punto è unico.
Discussione dell'equazione - Considerazioni generali
Studiare le soluzioni dell'equazione equivale a studiare le soluzioni del sistema misto costituito da e dal fascio di rette orizzontali di equazione .
I valori notevoli per la discussione del sistema sono le ordinate dei massimi e dei minimi della funzione, e l'asintoto orizzontale.
Nota: utilizza lo slider nell'app di seguito per esplorare il numero e il segno delle soluzioni del sistema.
Poiché GeoGebra utilizza per il calcolo i valori esatti, ma nell'app i valori sono approssimati a 3 cifre decimali, il numero di soluzioni visualizzate nei punti molto vicini ai punti di tangenza del fascio con la funzione potrebbe non essere quello atteso.
Discussione dell'equazione (sistema misto)
| Intervallo | Numero soluzioni reali e segno |
| | 1 soluzione negativa |
| | 1 soluzione negativa e 2 soluzioni coincidenti positive |
| << | 1 soluzione negativa e 2 soluzioni distinte positive |
| | 1 soluzione negativa e 1 soluzione positiva |
| << | 2 soluzioni distinte negative e 1 soluzione positiva |
| 2 soluzioni coincidenti negative e 1 positiva | |
| 1 soluzione positiva |