Problema semicirconferenza
Equazione risolutiva:
2rcosx + 4rsen²x-l = 0
Da qui abbiamo ragionato su quali valori potesse assumere x, senx e cosx: 0≤x≤90°, 0≤senx≤1, 1≥cosx≥0. L'errore che abbiamo fatto sta proprio qui: 0≤senx≤1. Il seno infatti, essendo elevato al quadrato, può assumere valori compresi tra -1 ed 1 e non soltanto tra 0 ed 1: -1≤senx≤1 E da qui spiegato il motivo per il quale la parabola interseca due volte la circonferenza: il settore da considerare non è solo quello del primo quadrante, ma tutta la semicirconferenza posta sull'asse positivo x.
Da cui si comprende che il problema avrà una soluzione quando il vertice della parabola si troverà sulla circonferenza (1;0), due soluzioni fino a quando la parabola sarà tangente alla circonferenza, nessuna soluzione oltre questo valore.
Mettiamo quindi a sistema l'equazione della parabola e quella della circonferenza. Otterremo: x²- x/2 + l/(4r) - 1=0. Da cui ponendo il Δ=0, avremo: l = 17/4 r, e di conseguenza i punti di tangenza si avranno quando il vertice della parabola sarà (17/4*r; 0).
Ricapitolando: una soluzione per l=2r, due soluzioni per 2r ≤ l ≤ 17/4r, nessuna soluzione per l > 17/4r