Propriedade 21 - Livro III

Seja o círculo ABCD, e sejam os BAD, BED ângulos no mesmo segmento circular BAED; digo que os ângulos sob BAD, BED são iguais entre si. Marcando com o centro do círculo ABCD, o F; Traçando os segmentos BF e FD, temos que: Como, por um lado, o ângulo BFD é um junto ao centro, e, por outro lado, o BAD, um sobre a circunferência, e têm o mesmo arco BCD como base, então, pela proposição 20 do Livro III dos Elementos de Euclides (Em um círculo, o ângulo junto ao centro é o dobro do ângulo sobre a circunferência, quando os ângulos possuem a mesma circunferência como base), temos que o é dobro do .  Pela mesma proposição, então, também é o dobro do ; portanto, o ângulo BÂD é igual ao BÊD. Portanto, em um círculo, os ângulos no mesmo segmento são iguais entre si; como queríamos provar.