Transformaciones entre las ecuaciones de la recta
Como ya se registró, se pueden tener tres ecuaciones diferentes para definir una recta:
y = mx + b conocida con ecuación normal u ordinaria
conocida como ecuación simétrica o canónica
Ax + By + C = 0 conocida como ecuación general
En este apartado se analiza cómo, de una de las tres ecuaciones se obtienen las otras dos, mediante transformaciones algebraicas.
1. De la ecuación normal u ordinaria, obtener la ecuación simétrica (canónica) y la ecuación general
Ecuación normal: y = mx + b
a) Obtener la ecuación simétrica o canónica
Sólo basta hallar a (intercepto con X) puesto que b (intercepto con Y) ya se conoce pues está en la ecuación normal.
El intercepto con X se obtiene cuando b vale cero. Al reemplazar y = 0 y x = a en la ecuación, se tiene,
0 = ma + b
Por lo tanto a = -b/m
De esta manera, la ecuación simétrica o canónica será
b) Obtener la ecuación general Ax + By + C = 0
Sólo basta hacer transposición de términos para que el miembro de la derecha de la ecuación sea cero.
mx + b - y = 0
ordenando, la ecuación general será mx - y + b = 0 En este caso, A = m, B = -1, C = b
Cuando la pendiente de la recta es una fracción, se puede transformar la ecuación eliminando el denominador como se muestra en este ejemplo:
ecuación 1
ecuación 2 A = m = 2/3, B = -1, C = b = 4
ecuación 3
ecuación 4 A = 2, B = -3, C = 12
Las ecuaciones 2 y 4 son equivalentes
2. De la ecuación simétrica o canónica, obtener la ecuación normal (ordinaria) y la ecuación general
Ecuación simétrica o canónica
a) Obtener la ecuación normal u ordinaria: y = mx + b
Se eliminan los denominadores y se despeja y en la ecuación simétrica:
por lo tanto,
b) Obtener la ecuación general Ax + By + C = 0
Se eliminan los denominadores y se iguala a cero:
se deduce que A = b, B = a, C = ab
3. De la ecuación general, obtener la ecuación normal (ordinaria) y la ecuación simétrica o canónica
Ecuación general Ax + By + C = 0
a) Obtener la ecuación normal u ordinaria: y = mx + b
Se despeja y en la ecuación general:
por comparación se obtiene y
b) Obtener la ecuación simétrica o canónica:
Se necesita calcular los interceptos a y b.
Para calcular a se hace x = a y y = 0. Se obtendrá el punto Ix = (a,0).
Para calcular b se hace x = 0 y y = b. Se obtendrá el punto Iy = (0,b).
Por lo tanto la ecuación simétrica será
Para analizar ...
1. El intercepto de una recta con el eje X es 4 y el intercepto con el eje Y es -1. a) Determinar la ecuación normal b) Determinar la ecuación canónica c) Determinar la ecuación general
2. Una recta tiene por ecuación general -2x + 3y - 5 = 0 a) Determinar la ecuación simétrica b) Determinar la ecuación normal c) Determinar las coordenadas de los puntos de intersección con los ejes (punto Ix y punto Iy)
3. La ecuación normal de una recta es y = -3x - 2 a) Determinar la ecuación general b) Determinar la ecuación canónica c) Determinar el valor de la pendiente d) a) Determinar el valor de los interceptos con los ejes
4. Una recta tiene por ecuación a) Determinar la ecuación normal b) Determinar la ecuación general