Tetraéderekre bontható-e minden poliéder?
Bontsuk fel...
Általános iskolai rutin probléma, hogy egy n oldalú konvex sokszög n-2 háromszögre bontható úgy, hogy a háromszögek csúcsai a sokszög csúcsai legyenek.
Vajon igaz ez az egyszerű, de alkalmasint "nagyon" konkáv sokszögekre is? Bizonyítható, hogy bármely egyszerű sokszögnek van legalább két levágható háromszöge, vagyis olyan, amelynek a csúcsai a sokszög csúcsai közül kerülnek ki, és e háromszögek belső pontjai csak ezekhez a háromszögekhez tartoznak. Ezzel azt is beláttuk, hogy bármely egyszerű sokszög háromszögekre bontható úgy, hogy a csúcsaik a sokszög csúcsai legyenek.
Egy GeoGebra programozási feladat:
Legyen adott a GeoGebra síkbeli koordinátarendszerében a Pn={ A1, A2, ...An} pontsorozat amelyek egyetlen GeoGebra paranccsal előállítják az S=Sokszög(Pn), objektumot!
Készítsünk olyan Geogebra programot, amely eldönti, hogy
- igaz-e, hogy Pn olyan pontsorozat, amelynek bármely három eleme háromszöget alkot;
- ha igen, akkor igaz-e, hogy S egy n oldalú egyszerű sokszög;
- ha igen, akkor bontsa a program az S sokszöget n-2 háromszögre az alkalmasan kiválasztott átlókkal.
Mit tudunk a fenti proléma térbeli megfelelőjéről?
Ugyancsak könnyen igazolható, hogy egy konvex poliéder test felbontható olyan tetraéderekre, amelynek a csúcsai a poliéder csúcsai lesznek. Mi több, olyan felbontást is könnyen kaphatunk, ahol minden tetraédernek van egy közös csúcsa.
Ugyanez a konkáv poliéderekre már nem biztos, hogy igaz. Ehhez elegendő legalább egy ellenpéldát találnunk. Kívánatos lenne könnyen áttekinthető, meggyőző ellenpélda keresése.
Erich Schönhardt (1891-1979) német matematikus 1928-ban leírt egy mindössze 6 csúcsú poliédert, amely nem bontható tetraéderekre.
Vegyünk egy szabályos háromszög alapú egyenes hasábot. A fedőlapját forgassuk el a hasáb tengelye körül kevesebb mint 60 °-kal, az oldallapjai helyettesítsük két két háromszöglappal úgy, hogy a kapott poliéder konkáv legyen. Így az átlói kívül lesznek a poliédertesten, ezért a kapott konkáv oktaéder nem bontható tetraéderekre úgy, hogy a csúcsai az adott csúcsok legyenek.
Ez a példa indokolttá teszi, hogy bármely konkáv poliéderre felvessük ugyanezt a kérdést: "Vajon tetraéderre bontható-e?"
Vajon tetraéderekre bontható-e a Császár poliéder?
Császár Ákos igazolta, hogy a tóruszra rajzolt teljes gráf közönséges (önátmetszés nélküli) poliéderként is realizálható. J. Bokowski és A. Eggert megmutatta, hogy ennek négy, ránézésre különböző, de azonos kombinatorikus szerkezetű változata van. Ezekkel itt ismerkedhettünk meg.
Ezt követően vetődött fel az a kérdés, hogy ezek a poliéder testek felbonthatók-e tetraéderekre úgy, hogy a kapott tetraéderek csúcsai a hét adott csúcs közül kerüljenek ki. Mivel a poliéder bármely két csúcsát él köti össze, ezért csak olyan tetraéderek alkothatják a felbontást, amelyeknek pontosan két lapja tartozik a poliéder felülethez. A másik kettővel egy-egy szomszédos tetraéderhez csatlakoznak Az így kapott elvágó lapok mindegyikének pontosan két másik elvágó lappal van közös élük, ezért ezeknek együtt egy folytonos zárt háromszögláncot alkotnak.. Együtt ezek alkotják a felbontás elvágó felületét.
E vizsgálat során kiderült, hogy mind a négy esetben lehetséges a poliéder test tetraéderekre bontása, de csak egyféleképpen. A tetraéderek eltávolításának a sorrendje egyértelműen meghatározott, a mozgások iránya is korlátozott, ha el akarjuk kerülni a tetraéderek (fizikai) ütközését.
A felbontás során keletkezett elvágó felület minden esetben egy Möbius szalag. A hét csúcsú teljes gráf, így a Császár poliéder élhálózata is három Hamilton kört alkot. Ezek egyike az elvágó felület határvonala, másik a háromszöglánc egymáshoz csatlakozó lapjainak az élrendszere.
Megjegyezzük még, hogy az élhálózat három Hamilton-köre közül minden esetben pontosan egy csomót alkot. Erre ‑ személyes kommunikáció kapcsán ‑ John Conway hívta fel a figyelmünket, emlékeztetve arra a tételére, miszerint ha egy tórusz felületre olyan zárt vonalat illesztünk, amely p-szer kerüli meg a tórusz vezérkörét, q-szor a forgástengelyét, ahol p>1 ,q>1 és (p,q)=1, akkor ez a vonal egy egyszerű csomót alkot.
Az alábbi appletben azt mutatjuk meg, hogy e négy változat mindegyike felbontható tetraéderekre, de csak egyféleképpen.
A felbontás során keletkezett elvágó felület mind a négy esetben egy Möbius-szalag. A hét csúcsú teljes gráf, így a Császár-poliéder élhálózata is három Hamilton-kört alkot. Ezek egyike az elvágó felület határvonala, másik a háromszöglánc egymáshoz csatlakozó lapjainak az él rendszere. A harmadik Hamilton kör szakaszaira illeszkedő lapok lesznek az egyes felbontó tetraédernek a a poliéder felülethez tartozó lapjai.
Figyeljük meg, hogy az összes esetben a három Hamilton-kör közül pontosan egy csomót alkot.