integrales dobles para hallar volumen
Cálculo de volúmenes mediante integrales doblesEn el primer tema dijimos que las integrales dobles pueden representar volúmenes. Imagina que queremos el volumen entre la función f(x,y) y el plano x,y
dentro del rectángulo R
, como en la siguiente figura:
V=
Podemos reescribir el último plano como f(x,y)=z=1−x−y
y pensar que queremos el volumen entre la superficie del plano
inclinado y la región del plano xy formada por el siguiente triángulo: 
¿Cómo obtuvimos ese triángulo? A través del gráfico vemos que el dominio es limitado por los ejes cartesianos y por la intersección del plano x+y+z= con el plano xy
, es decir, por la recta x+y=1 Entonces, f(x,y)=1−x−y representa la “altura” de la región en cada punto y dA representa el área sobre dicha altura. Llamando a esa región plana como D tenemos que: V=∬Df(x,y)dA=∬D(1−x−y)dx dy
Es decir, el volumen que queremos es la integral de la función que representa el plano inclinado en la región plana que trazamos anteriormente. Por tanto, necesitamos escribir matemáticamente a la región D como siempre hicimos en las integrales dobles. Como mencionamos, para descubrir la ecuación de la recta inclinada hacemos la intersección del plano z=1−x−ycon z=0, lo que nos da: 0=1−x−y
y=1−x
Escribiendo la región plana como tipo I, tenemos que y está entre las rectas y=0
y y=1−x, mientras que x
está entre x=0 y x=1 Por tanto, 0≤y≤1−x,0≤x≤1
. Llevándolo a la integral: V=∫10∫1−x0(1−x−y)dy dx
¡Y resolvemos! Veamos un ejemplo un poco más complejo. Calculemos el volumen de la región limitada por los paraboloides z=x2+y2
y z=4−x2−y2. La región es esta:
Podemos pensar que está limitada por las dos funciones f(x,y)=z=x2+y2 y g(x,y)=z=4−x2−y2
¿La “altura” de esa región no siempre será z del paraboloide naranja del paraboloide naranja−−z del paraboloide azul del paraboloide azul? Es decir, esa “altura” es g(x,y)−f(x,y)
Bien, si para hallar el volumen de la región, tenemos que integrar una altura en un área, solo decimos que V=∬Dg(x,y)−f(x,y)dA
V=∬D(4−x2−y2)−(x2+y2)dA=∬D(4−2x2−2y2)dA
Donde D
es el área que limita el volumen en el plano xy (la proyección del volumen):
V=
Podemos reescribir el último plano como f(x,y)=z=1−x−y
y pensar que queremos el volumen entre la superficie del plano
inclinado y la región del plano xy formada por el siguiente triángulo:
¿Cómo obtuvimos ese triángulo? A través del gráfico vemos que el dominio es limitado por los ejes cartesianos y por la intersección del plano x+y+z= con el plano xy
, es decir, por la recta x+y=1 Entonces, f(x,y)=1−x−y representa la “altura” de la región en cada punto y dA representa el área sobre dicha altura. Llamando a esa región plana como D tenemos que: V=∬Df(x,y)dA=∬D(1−x−y)dx dy
Es decir, el volumen que queremos es la integral de la función que representa el plano inclinado en la región plana que trazamos anteriormente. Por tanto, necesitamos escribir matemáticamente a la región D como siempre hicimos en las integrales dobles. Como mencionamos, para descubrir la ecuación de la recta inclinada hacemos la intersección del plano z=1−x−ycon z=0, lo que nos da: 0=1−x−y
y=1−x
Escribiendo la región plana como tipo I, tenemos que y está entre las rectas y=0
y y=1−x, mientras que x
está entre x=0 y x=1 Por tanto, 0≤y≤1−x,0≤x≤1
. Llevándolo a la integral: V=∫10∫1−x0(1−x−y)dy dx
¡Y resolvemos! Veamos un ejemplo un poco más complejo. Calculemos el volumen de la región limitada por los paraboloides z=x2+y2
y z=4−x2−y2. La región es esta: Podemos pensar que está limitada por las dos funciones f(x,y)=z=x2+y2 y g(x,y)=z=4−x2−y2
¿La “altura” de esa región no siempre será z del paraboloide naranja del paraboloide naranja−−z del paraboloide azul del paraboloide azul? Es decir, esa “altura” es g(x,y)−f(x,y)
Bien, si para hallar el volumen de la región, tenemos que integrar una altura en un área, solo decimos que V=∬Dg(x,y)−f(x,y)dA
V=∬D(4−x2−y2)−(x2+y2)dA=∬D(4−2x2−2y2)dA
Donde D
es el área que limita el volumen en el plano xy (la proyección del volumen):
Escribimos la región D como en cualquier integral doble. Como es un círculo, utilizamos coordenadas polares. x=rcosθ
y=rsenθ
J=r
El círculo es definido como 0≤r≤2√ y 0≤θ≤2π
El límite 2√2 del radio puede ser encontrado haciendo la intersección entre los paraboloides: z=x2+y2=4−x2−y2
x2+y2=2
Llevándolo a la integral, tenemos: V=∬D(4−2x2−2y2)dA=2∫2π0∫2√0(2−r2)rdrdθ
¡Y resolvemos! Entonces, la finalidad de este capítulo es entender cómo escribir el volumen mediante una integral doble (identificando quién es la “altura” y quién es el “área” que la limita en el plano).