A Varignon-tétel bemutatása
A Varignon-tétel megállapítja, hogy ha bármelyik négyszögben bármelyik pont folyamatosan csatlakozik az oldalakhoz, akkor párhuzamos program kerül létrehozásra. Ezt a tételt Pierre Varignon fogalmazta meg, és 1731-ben jelentette meg a következő könyvben: "A matematika elemei".
A könyv közzététele évekkel halála után történt. Mivel Varignon volt az, aki bemutatta ezt a tételt, ezért róla nevezték el a későbbiekben. A tétel az euklideszi geometrián alapul, és a négyszögek geometriai kapcsolatait mutatja be.
Varignon azt állította, hogy a négyszög középpontja által meghatározott szám mindig egy párhuzamosságot eredményez, és ennek területe mindig a négyszög területének a fele, ha lapos és konvex.
Például:
A következő ábrán egy négyszöget láthatunk X-el, ahol az oldalak középpontjait E, F, G és H képviseli, és amikor csatlakoznak, egy párhuzamosságot alkotnak. A négyszög területe a képződő háromszögek területeinek összege, és ennek a fele megfelel a párhuzamosság területének.
Mivel a paralelogramma területe a négyszög területének fele, a párhuzamosság kerülete meghatározható.
Így a kerület egyenlő a négyszög átlóinak hossza összegével. Ez azért van, mert a négyszög mediánja a párhuzamos program átlója lesz.
A paralelogramma fogalma euklideszi fogalom, ebből következően indokolt, hogy megnézzük azt, hogy a négyszögek oldalfelező pontjai milyen négyszöget határoznak meg a nem euklideszi geometriákban.
Az Euklideszi geometria tanítása közben gyakran bebizonyítjuk a tételt:
Bármely négyszög oldalfelező pontjai által maghatározott négyszög paralelogramma.
A bizonyítás:
A tétel nemcsak sík négyszögekben teljesül, hanem térbeli geometriában vagy nagy méretekben is megvalósítható; azaz azokban a négyszögekben, amelyek nem konvexek. Erre példa lehet egy oktaéder, ahol a középpontok az egyes arcok középpontjai, és párhuzamosan alakulnak.
Ily módon a különböző ábrák középpontjainak összekapcsolásával párhuzamosan állíthatunk be párhuzamosságot. Egyszerű módja annak igazolására, hogy ez valóban igaz-e, hogy az ellenkező oldalaknak párhuzamosnak kell lenniük, ha hosszabbítják őket.
A hiperbolikus geometriában
Itt nem vettünk észre semmi érdekes tulajdonságot.
Megsejthető az, hogy a felezőpontok által meghatározott négyszög szemközti oldalegyeneseinek metszéspontjai egy egyenesre illeszkednek.