Desafío 1: Cálculo de áreas bajo una curva, usando un cubrimiento de rectángulos

Un comentario histórico: El proceso que vamos a estudiar viene de necesidades prácticas bien concretas. Desde la antigüedad, por la forma de producir (principalmente en sociedades bajo la organización tributaria de la producción), el control de la repartición de la tierra cultivable condicionaba toda la organización y subdivisión social del trabajo. Era fundamental saber calcular áreas, y no sólo áreas en un sentido sencillo, si es que estamos pensando en las figuras básicas que conocemos, por el contrario, poco a poco el ingenio se fue ocupando de problemas cada vez más complejos y desafiantes, planteándose cuestiones que desafiaban el conocimiento de la época. Justamente, al tratar de ir más allá en la complejidad del cálculo geométrico (aún el recurso simbólico tardaría en aparecer, y de forma gradual y la geometría aún era una disciplina práctica (Kline, 1972)), las condiciones extremas de ciertos problemas (comúnmente cuando había que aproximarse lo más posible a un valor exacto), hicieron necesario calcular tangentes, así, el cálculo de áreas y tangentes se puso a la cabeza del interés y necesidad de la técnica geométrica temprana. Sin embargo, el esfuerzo tendría sus limitaciones, justamente por una característica de la investigación geométrica antigua: aborrecía el infinito, fantasma que aparecía de vez en cuando. Este origen histórico hace que el cálculo integral sea incluso, anterior que el cálculo diferencial (Hairer & Wanner, 2008). El gran salto vendrá a darse cuando, a partir del siglo XVII de nuestra era, el problema cambia de forma, no por un cambio de intención, sino por la entrada en juego de intuiciones y conceptos más elaborados; con la entrada del concepto de función y todo el aparataje del álgebra y la geometría analítica, como podemos ver en la figura que mostramos aquí abajo, donde Newton, coincidiendo con las intuiciones de Leibniz, se plantea áreas limitadas por funciones. El problema de área de una figura, pasará a ser entonces el del área bajo una curva. En este contexto, el infinito empezará a entrar en el ámbito de certeza de la ciencia; preparándose el terreno para el desarrollo de la herramienta más poderosa de la matemática moderna: el cálculo diferencial e integral. Dibujo realizado por Newton. (Hairer & Wanner, 2008, p. 107) Es así como nuestro primer desafío se va a relacionar con la solución histórica de este problema, pero desde el planteamiento como lo retoma la matemática del siglo XVII: calcular el área bajo una función continua y acotada, mediante la superposición de rectángulos regulares que van haciéndose, cada vez y cada vez más pequeños...

5. Hay una casilla en la pantalla gráfica inferior, donde puede ingresarse el número de subdivisiones del intervalo cerrado entre 0 y 11. Si colocas un número pequeño, entonces el intervalo entre 0 y 11 del eje de abscisas quedará dividido en menos intervalos y cabrán menos rectángulos. La aproximación de las áreas será entonces, menos ajustada a la verdadera. 6. A la derecha hay dos casillas de control, una, para visualizar a los rectángulos del cubrimiento hecho a partir de los valores inferiores de los intervalos (y el total de la suma de sus áreas), otra para el cubrimiento realizado con rectángulos construidos sobre los valores mayores.