Rechenregeln für Grenzwerte mit Beispielbeweis und Anwendung bei Funktionsuntersuchungen
Rechenregeln für Grenzwerte
Gegeben seien konvergente Folgen mit Grenzwert und mit Grenzwert . Dann gelten folgende Aussagen:
(i) Für jede Konstante ist die Folge konvergent und es gilt .
(ii) Die Folge ist konvergent und es gilt .
(iii) Die Folge ist konvergent und es gilt .
(iv) Falls alle sind sowie ist, so ist die Folge konvergent und es gilt .
Möchtest du die Rechenregeln für Grenzwerte noch einmal in anderen Worten erklärt haben?
(i) Vielfache einer konvergenten Folge
Die Rechenregeln für Grenzwerte sind in den folgenden Applets für ausgewählte Beispiele visualisiert. Mit den Applets kannst du erproben, wie sich die Folgen verhalten und mehrere Parameter selbst ändern.
(ii) Summe zweier konvergenter Folgen
ACHTUNG: Beweise nötig!
Du hast bereits die ersten zwei Rechenregeln für Grenzwerte mit den Applets erkundigt. Wahrscheinlich hast du die Regeln auch bestätigt gesehen. Doch bevor man in der Mathematik Regeln allgemein gültig verwendet, müssen sie bewiesen sein.
Alle vier Regeln werden nach dem Prinzip bewiesen, dass ab einem bestimmten alle weiteren Werte nur noch in einer Entfernung von maximal um den Grenzwert herum liegen (Epsillon-Schlauch).
Im folgenden wirst du den Beweis zu (ii) gezeigt bekommen und sollst anschließend selber (i) beweisen.
Beispielbeweis zu (ii)
Es sei ein beliebiges aber festes vorgegeben.
Zu zeigen ist, dass ein existiert für das für alle gilt.
Es ist (*)
Da die einzelnen Folgen und konvergent sind, existieren und , sodass
für alle und für alle gilt.
Wir wählen nun und als das Maximum von und .
Dann gilt . q.e.d.
Nach Definition gilt .
Frage zum Beweis von (ii)
Was passiert im Schritt (*) ?
Beweis zu (i)
Nun bist du an der Reihe: Versuche (i) zu beweisen. Schreibe dazu die Abschätzungen der Beträge auf einem separaten Blatt auf.
Das Applet kann dir beim Beweis eine Hilfe sein.
Vergiss dabei nicht den Fall .
Applet zum Beweis von (i)
1. Fall: c=0
Wie beweist du, dass , falls ist?
2. Fall: c≠0
Wie muss gewählt werden, damit gilt?
(iii) Produkt zweier konvergenter Folgen
Du hast nun bereits zwei Rechenregeln bewiesen. Die Regeln (iii) und (iv) sind ein bisschen aufwendiger, weshalb du sie (ausnahmsweise) ohne Beweis anwenden darfst. In den zwei folgenden Applets kannst du (iii) und (iv) erkunden. In den Applets sind auch Eingabefelder, in die du eigene Folgen eingeben kannst.
(iv) Quotient zweier konvergenter Folgen
Aufgaben zum Üben
Untersuche die nachfolgenden Folgen auf Konvergenz und bestimme gegebenenfalls den Grenzwert. Manchmal brauchst du mehrere Rechenregeln für eine Teilaufgabe. Halte am besten ein Blatt für Nebenrechnungen bereit.
Du kannst dabei folgende Limites als bekannt verwenden:
;
a)
Bestimme den Grenzwert von für , falls möglich.
b)
Bestimme den Grenzwert von , falls möglich.
c)
Finde die Folge, die den gleichen Grenzwert hat, wie .
d)
Auch kann man lösen. Der Grenzwert ist . Doch so wie die Folge dort steht, darf man die Rechenregeln nicht anwenden, da Zähler und Nenner divergieren. Wie muss man die Folge richtig umformen?
Übertragung auf Grenzwerte von Funktionen
In der Schule arbeitet ihr weniger mit Folgen, sondern mehr mit Funktionen über die reellen Zahlen. Diese Untersucht ihr auf Nullstellen, Steigung, Extrema, Wendestellen und eben auch auf ihr Unendlichkeitsverhalten. Hier hilft das Wissen über Grenzwerte bei Folgen euch, auf die Grenzwerte von Funktionen zu schließen.
e)
Welchen Grenzwert hat die Funktion und von welcher Folge kannst du ihn herleiten?
f)
Wohin strebt ?
Das soll nur ein kurzer Ausblick sein, was in der Hochschulmathematik noch folgen wird. In der Schule behandelt man fast ausschließlich Funktionen. In der Hochschule behandelt man zuvor ausführlich Folgen und Reihen, bevor man dann zu den komplexeren Funktionen über geht.
